Matematyka.pl

Dany jest trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\), kąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prosty, a miara kąta \(\displaystyle{ BAC}\) wynosi \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Na boku \(\displaystyle{ AC}\) leżą punkty \(\displaystyle{ D, E}\) w taki sposób, że miara kąta \(\displaystyle{ DBC}\) wynosi \(\displaystyle{ 3\alpha}\), a miara kąta \(\displaystyle{ DBE}\) WYNOSI \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ BD=BE}\) i obliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\).

Jakieś pomysły?

Rysunek

\(\displaystyle{ |\angle BCA| =...}\)

\(\displaystyle{ |\angle CEB| =...}\)

\(\displaystyle{ |\angle BEA| =...}\)

\(\displaystyle{ |\angle BDC| =...}\)

\(\displaystyle{ |\angle BEA} = |\angle BDC|}\)

Trójkąt \(\displaystyle{ BED}\) jest równoramienny.

\(\displaystyle{ \overline{BD} = \overline{ BE}.}\)

\(\displaystyle{ \alpha =...}\)

Czemu zakładasz, że \(\displaystyle{ E\in|DC|}\). Może być sytuacja, że \(\displaystyle{ E\in|DA|}\). Wyszło, że ten trójkąt jest równoramienny, ale nie wiem skąd mam wziąć \(\displaystyle{ \alpha}\)

\(\displaystyle{ E \in \overline{AD}.}\)

Z trójkąta równoramiennego:

\(\displaystyle{ \alpha + 180^{o}-5\alpha +180^{o}-5\alpha = 180^{o}}\)

\(\displaystyle{ -9\alpha = -180^{o}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 20^{o}.}\)

\(\displaystyle{ E\in\overline{AD}}\)

\(\displaystyle{ |\angle BCA| =90^o-2\alpha}\)

\(\displaystyle{ |\angle CEB| =90^o-3\alpha}\)

\(\displaystyle{ |\angle BEA| =90^o+3\alpha}\)

\(\displaystyle{ |\angle BDC| =90^o-\alpha}\)

\(\displaystyle{ |\angle BEA}| = |\angle BDC|}\)

Mi wychodzi: \(\displaystyle{ |\angle BEA}| \neq |\angle BDC|}\)

O czym to świadczy?

Do jakiego odcinka przeciwprostokątnej trójkąta musi należeć punkt \(\displaystyle{ E?}\)

Do odcinka \(\displaystyle{ \overline{DC}}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ |\angle BEA}| = |\angle BDC| = 90^{o}-\alpha}\)- proszę sprawdzić

I miara kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi .....

Nie wiem jak \(\displaystyle{ \alpha}\) wyliczyć ponieważ w każdym trójkącie suma kątów wynosi \(\displaystyle{ 180^o}\). Otrzymuję, że \(\displaystyle{ 180^o=180^o.}\)

\(\displaystyle{ 3\alpha < 90^{o}, \ \ \alpha < 30^{o}.}\)

Co powiemy o \(\displaystyle{ \Delta ABD}\) i \(\displaystyle{ \Delta CBE ?}\)

Nie wiem. Nie widzę żadnego podobieństwa.

Nie wiem nic o trzecim boku.

A co możemy po tych spostrzeżeniach powiedzieć o \(\displaystyle{ |\angle BAD|}\) i \(\displaystyle{ |\angle ECB|}\) ramię \(\displaystyle{ \overline{AD}}\) pierwszego kąta jest przedłużeniem ramienia \(\displaystyle{ \overline{EC}}\) drugiego?

Nie wiem

Musisz coś wiedzieć.

Rysujemy oddzielnie dwa trójkąty, w których długości na przykład lewych boków są takie same i miary kątów między równoległymi podstawami tych trójkątów, a tymi równymi bokami są równe. Co możemy powiedzieć o miarach kątów przeciwległych w tych trójkątach?

Suma miar przeciwległych kątów jednego i drugiego trójkąta są sobie równe, ale nie wiem co to daje.