Matematyka.pl

Jaś umówił się z Małgosią w kawiarni. Oboje zdecydowali się w razie potrzeby czekać nawzajem na siebie, ale nie dłużej niż kwadrans. Zakładając że oboje przychodzą do kawiarni w losowo wybranym momencie pomiędzy 16:00 a 17:00, oblicz prawdopodobieństwo,że ich spotkanie dojdzie do skutku.

Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza moment dotarcia na miejsce spotkania pierwszej osoby, a \(\displaystyle{ y}\) czas przyjścia drugiej osoby.
Wszystkie możliwe terminy reprezentuje obszar tych punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) gdzie \(\displaystyle{ x, y \in \left\langle 16,17\right\rangle}\)
Pole tego obszaru to 1.

Osoby się spotkają gdy różnica miedzy czasami ich przyjścia na umówione miejsce nie przekracza 15 minut, czyli 1/4 godziny. Stad:
\(\displaystyle{ \left| y-x\right| \le \frac{1}{4} \\
\frac{-1}{4} \le y-x \le \frac{1}{4} \\
x+ \frac{-1}{4} \le y \le x + \frac{1}{4}}\)

Zaznaczam ten obszar na rysunku: Pole tego obszaru to: \(\displaystyle{ 1-2 \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \right]= \frac{7}{16}}\)

Szukane prawdopodobieństwo to stosunek pól:
\(\displaystyle{ P= \frac{\frac{7}{16}}{1} =\frac{7}{16}}\)