Rozstrzygni zbieżność szeregu
: 28 cze 2019, o 17:02
Zbadaj czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1,00001}}}\) jest zbieżny.
Wiemy, że nie jest, ale zastanawiam się nad sposobami udowodnienia tego faktu. Pomyślałem, że można tak:
\(\displaystyle{ s > 1}\). Skorzystajmy z kryterium zagęszczającego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \frac{1}{\left( 2^n\right) ^s}}\)
Po zredukowaniu \(\displaystyle{ 2^n}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{ns-1}}}\)
Jako, że \(\displaystyle{ s>1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2^{ns - 1}}\right| < 1}\)
W takim razie szereg ten jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym od jednego, więc na mocy kryterium zagęszczającego zbieżny jest szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\)
A szukany szereg to szczególny przypadek powyższego.
Czy poprawnie to zrobiłem?
Jak jeszcze można udowodnić ten fakt?
Wiemy, że nie jest, ale zastanawiam się nad sposobami udowodnienia tego faktu. Pomyślałem, że można tak:
\(\displaystyle{ s > 1}\). Skorzystajmy z kryterium zagęszczającego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \frac{1}{\left( 2^n\right) ^s}}\)
Po zredukowaniu \(\displaystyle{ 2^n}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{ns-1}}}\)
Jako, że \(\displaystyle{ s>1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2^{ns - 1}}\right| < 1}\)
W takim razie szereg ten jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym od jednego, więc na mocy kryterium zagęszczającego zbieżny jest szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\)
A szukany szereg to szczególny przypadek powyższego.
Czy poprawnie to zrobiłem?
Jak jeszcze można udowodnić ten fakt?