Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n} x^{n}}{3^{n+1}+2}}\)

Otrzymuję:
\(\displaystyle{ x _{0} =0, R=3, x \in (-3;3)}\)
Muszę zbadać na krańcach przedziału:
w \(\displaystyle{ x=-3}\) mam:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^{n}}{3^{n+1}+2}}\)

a w \(\displaystyle{ x=3}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-3)^{n}}{3^{n+1}+2}}\)

Jak zbadać zbieżność w tych dwóch punktach? Wyniki nie wychodzą oczywiste...

W tym przypadku na krańcach przedziału nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, tj.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{3^{n}}{3^{n+1}+2}=\frac 1 3\neq 0}\)
i np.
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty}\frac{(-3)^{n}}{3^{n+1}+2}=\frac 1 3\neq 0}\)

Sprawdź warunek konieczny