Matematyka.pl

Całkę podwójną \(\displaystyle{ \int_{}^{} f \left( x, y \right) dxdy}\) zamienić na całki iterowane lub sumę takich całek (dla dwóch różnych kolejności całkowania), jeśli \(\displaystyle{ D = \left\{ \left( x, y \right) \in \RR ^{2}: \sqrt{4-y^{2}} \le x \le 4-y^{2}, y \le 0 \right\}}\).

Widzę, że obszar ten opiera się głównie na 3 punktach:
\(\displaystyle{ \left( 2, 0 \right) ; \left( 4, 0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1, \sqrt{3} \right)}\).
Wzory krawędzi to \(\displaystyle{ y=0, y= \sqrt{4-x^{2}}}\) i \(\displaystyle{ y= \sqrt{4-x}.}\)
Czy może być takie rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} dx \int_{ \sqrt{4-x} }^{ \sqrt{4-x^{2}} } f \left( x,y \right) dy + \int_{2}^{4} dx \int_{0}^{ \sqrt{4-x} } f \left( x,y \right) dy}\)?

Należy uwzględnić warunek \(\displaystyle{ y \leq 0}\) w opisie obszaru \(\displaystyle{ \mathcal{D}}\)

i wtedy punkty przecięcia się okręgu i paraboli, które należy uwzględnić mają współrzędne:

\(\displaystyle{ (0, -2), \ \ (1, -\sqrt{3}),\ \ (4, 0) .}\)

Już wiem, zgubiłem minusa przy pierwiastku z trzech. Wydaje mi się, że punkt \(\displaystyle{ (0, -2)}\) nie należy do opisywanego obszaru, bo parabola przecina się z okręgiem jeszcze przed osią OY (patrząc od prawej). Chyba że czegoś nie rozumiem...

Rozwiąż układ równań opisujących te krzywe.