Matematyka.pl

Witam, mam takie zadanie. Nie mogę go rozgryźć, będę wdzięczny za objaśnienie krok po kroku jak to rozwiązać.
Podać liczbę rozwiązań równania :
\(\displaystyle{ 2^{6}+ (x+4)^{4}+ (x-3i)^{2}=0}\)
a) w zbiorze liczb rzeczywistych,
b) w zbiorze liczb zespolonych.
Za wszelką pomoc dziękuję

Z b) nie powinieneś mieć problemu.

W a) pomyśl co się dzieje z ostatnim składnikiem gdy \(\displaystyle{ x}\) jest rzeczywiste

Właśnie podpunkt a ogarnąłem, bo wtedy część urojona liczby zepolonej powinna wyjść 0. Z częścią urojoną liczby będzie tylko jeden składnik \(\displaystyle{ -6xi}\) , który ma być równy zero. Czyli za \(\displaystyle{ x}\) wstawiamy 0, lecz wtedy równanie będzie sprzeczne. Więc nie będziemy mieli rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. A nie mogę wpaść na rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.

A co wiesz o liczbie pierwiastków zespolonych wielomianu czwartego stopnia (o współczynnikach zespolonych)?

JK

Skoro wielomian czwartego stopnia o współczynnikach zespolonych, to będą 4 pierwiastki. Wystarczy, że jeden z nich będzie równy 0?

lukasz988 pisze:Skoro wielomian czwartego stopnia o współczynnikach zespolonych, to będą 4 pierwiastki.

Tak.

lukasz988 pisze:Wystarczy, że jeden z nich będzie równy 0?

Co masz na myśli?

JK

Skoro całość ma być równa 0, to sobie pomyślałem że jeden z nich musi być równy zero.
Przykładowo mamy jakiś wielomian
\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0}\)
\(\displaystyle{ W(x)=0 \Leftrightarrow (x-1)=0 \vee (x-2)=0 \vee (x-3)=0 \vee (x-4)=0}\)
W naszym przypadku będzie podobnie?
Tylko nie wiem w jaki sposób ma nam to pomóc.

lukasz988 pisze:Skoro wielomian czwartego stopnia o współczynnikach zespolonych, to będą 4 pierwiastki.

Suma krotności wszystkich pierwiastków to z pewnością \(\displaystyle{ 4}\), ale nie wynika z tego, że pierwiastków jest dokładnie tyle.