Matematyka.pl

Bardzo długi przewodzący pręt o średnicy \(\displaystyle{ R}\) wykonano z materiałów kompozytowych tak, ze zależność przewodności właściwej od promienia dana jest zależnością
\(\displaystyle{ \sigma(r)=\sigma_0+\sigma_1\frac{r}{R}+\sigma_2\frac{r^2}{R^2}}\)
Wzdłuż pręta płynie prąd elektryczny o natężeniu \(\displaystyle{ I}\) tak, ze natężenie pola elektrycznego w całym pręcie
jest stałe. Oblicz:
a) Natężenie pola elektrycznego \(\displaystyle{ E}\) wewnątrz pręta.
b) Zależność gęstości prądu od promienia \(\displaystyle{ j(r)}\).
c) Zależność indukcji pola magnetycznego od promienia \(\displaystyle{ B(r)}\) wewnątrz pręta.

Edit:
Czy dobrze rozumiem, że punkt a zrobi się z zależności:
\(\displaystyle{ I= E \cdot\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \sigma(r) dr d\phi}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to jest kąt w układzie biegunowym.

Pręt składa się z koncentrycznych cylindrów o promieniu \(\displaystyle{ 0<r<R}\) i grubości różniczkowej \(\displaystyle{ \dd r}\). Wewnątrz każdego jest takie same pole \(\displaystyle{ E=const.}\) Z prawa Ohma \(\displaystyle{ \sigma(r) E=j(r)=\frac{\dd I}{2\pi r \dd r}}\), gdzie w mianowniku mamy pole przekroju cylindra o promieniu r.

\(\displaystyle{ E=\frac{I}{2\pi\int_0^R r\sigma(r)\dd r}=\frac{I}{\pi R^2(\sigma_0+\frac{2}{3}\sigma_1+\frac{1}{2}\sigma_2)}}\)

Gęstość prądu \(\displaystyle{ j(x)=\sigma(x)E=\frac{I(\sigma_0+\frac{\sigma_1}{R}r+\frac{\sigma_2}{R^2}r^2)}{\pi R^2(\sigma_0+\frac{2}{3}\sigma_1+\frac{1}{2}\sigma_2)}}\)

\(\displaystyle{ B(r)=\frac{\mu I(r)}{2\pi r} = \frac{2\pi\mu \int_0^r j(r)r\dd r}{2\pi r}=\frac{\mu I}{\pi R^2(\sigma_0+\frac{2}{3}\sigma_1+\frac{1}{2}\sigma_2)}\frac{1}{r}\int_0^r\left(\sigma_0 r+\frac{\sigma_1}{R}r^2+\frac{\sigma_2}{R^2}r^3\right)=\frac{\mu I(\frac{1}{2}\sigma_0 r+\frac{1}{3}\frac{\sigma_1}{R}r^2+\frac{1}{4}\frac{\sigma_2}{R^2}r^3)}{\pi R^2\left(\sigma_0+\frac{2}{3}\sigma_1+\frac{1}{2}\sigma_2\right)}
}\)

\(\displaystyle{ I(r)}\) to ilość prądu wewnątrz promienia r.