żS-3, od: Sylwek, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3, od: Sylwek, zadanie 3

Post autor: Liga » 10 paź 2007, o 16:54

Sylwek pisze:Rysunek pomocniczy:
i20.tinypic. com/2nm16k5.png

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}r^2+h^2=l^2 \\ V=\frac{1}{3} \pi r^2h\end{cases} \\ \mathbb{D}: \ h (0, 2) \ (dm)}\)

Z pierwszego równania wyznaczamy kwadrat promienia i wstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ r^2=l^2-h^2 \\ V=\frac{1}{3} \pi (l^2-h^2)h=-\frac{1}{3} \pi h^3+ \frac{1}{3} \pi l^2 h}\)

Podstawiam l=2, a końcowy wynik podam w decymetrach. Niech poza tym f(h)=V:
\(\displaystyle{ V=f(h)=-\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{4}{3} \pi h}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ f'(h)=- \pi h^2+\frac{4}{3} \pi}\)

Funkcja osiąga wartości ekstremalne, gdy pochodna jest równa zero. Skoro wykres pochodnej jest parabolą o ujemnym współczynniku kierunkowym, to szukanym maksimum lokalnym będzie wartość ekstremalna o większej wartości:

\(\displaystyle{ f'(h)=0 \iff -\pi h^2+\frac{4}{3}\pi=0 \\ 3h^2-4=0 \\ h^2=\frac{4}{3} \\ h_{1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} h_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)

Więc \(\displaystyle{ h_{2}}\) jest poszukiwanym maksimum lokalnym, a że ta wartość należy do dziedziny, to zadanie jest zakończone.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ V=V_{max} \iff h=\frac{2\sqrt{3}}{3} \ (dm)}\)
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:16 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 3

Post autor: scyth » 10 paź 2007, o 23:29

i tu 4/4

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6915
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 3

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 paź 2007, o 00:03

tak , dziedzine podał, i bez zastzrezen

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 3

Post autor: Tristan » 13 paź 2007, o 13:52

Również 4/4.

ODPOWIEDZ