Wykaż, że...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Wykaż, że...

Post autor: Daumier » 10 paź 2007, o 16:44

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} = 4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)

Proszę o pomoc...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Wykaż, że...

Post autor: jarekp » 10 paź 2007, o 17:30

\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} = 4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)



\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} =
(cos\alpha)^{2} - 2cos\alpha cos\beta+(cos\beta)^{2}+ (sin\alpha)^{2} - 2sin\alpha sin\beta+(sin\beta)^{2}=2-2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)=
2-2cos(\alpha-\beta)=(*)=4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)


(*)korzystam ze wzoru(można znależć w tablicach) \(\displaystyle{ sin^{2}x =\frac{1-cos2x}{2}}\)



[ Dodano: 10 Października 2007, 17:52 ]
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)

korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ cos^{2}x =\frac{1+cos2x}{2}\iff1+cos2x=2cos^{2}x}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})- sin^{2}\alpha=
4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})-(2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2})^2=
4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})- 4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}=
4cos^{2}\frac{\alpha}{2}(1-sin^{2}\frac{\alpha}{2})=
4cos^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}=4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)




ODPOWIEDZ