Matematyka.pl

Chcę udowodnić, że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Czy mogę to zrobić korzystając z faktu, że
\(\displaystyle{ n ^{5} \equiv n \mod 5}\)
A więc reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n ^{5}}\) i \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) jest taka sama.
Czy na tej podstawię mogę wywnioskować, że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)?
Czy jest prawdziwe równanie i czy mogę z niego korzystać:
\(\displaystyle{ \left( n ^{p}-n \right) \mod p \equiv n ^{p} \mod p - n \mod p}\) ?

Czekaj, czekaj...
Chcesz udowodnić, że \(\displaystyle{ 5| n^{5} - n}\) (czyli de facto, że te dwie liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez 5), korzystając z faktu, że te dwie liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez 5 ?
Nie, Ty masz to udowodnić. Możesz ładnie rozpisać to wyrażenie, np. tak:
\(\displaystyle{ n^{5} - n = n(n^{4}-1) = n(n-1)(n+1)(\left(n^{2}-4\right) + 5) = \\
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)}\)

hidden55 pisze:Chcę udowodnić, że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Czy mogę to zrobić korzystając z faktu, że
\(\displaystyle{ n ^{5} \equiv n \mod 5}\)
A więc reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n ^{5}}\) i \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) jest taka sama.

Piękny, klasyczny dowód przez założenie tezy... Przerażająco skuteczny i zupełnie niepoprawny.

JK

Można też zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) teza jest oczywista, dla pozostałych \(\displaystyle{ n}\) równoważnie z tezą mamy udowodnić \(\displaystyle{ n ^{4} \equiv 1 \mod 5}\) a to zrobimy wyrażając jako \(\displaystyle{ n=5m+r}\) gdzie \(\displaystyle{ m\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ r\in\left\{ 1,2,3,4\right\}}\). Wtedy teza przyjmuje postać \(\displaystyle{ 625m^4+500m^3r+150m^2r^2+20mr^3+r^4\equiv 1 \mod 5}\) to natomiast upraszcza się do \(\displaystyle{ r^4\equiv 1 \mod 5}\). Wystarczy teraz zauważyć, że jest to prawda dla \(\displaystyle{ r=1,2,3,4}\) co jest łatwym podstawianiem.

Chciałem tutaj skorzystać z małego twierdzenia Fermata, a nie założenia tezy

hidden55 pisze:Chciałem tutaj skorzystać z małego twierdzenia Fermata, a nie założenia tezy

No to musisz udowodnić, że \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą. :}

hidden55, Masz rację tylko krótko.Na mocy MTF \(\displaystyle{ n ^{5}-n \equiv 0\mod 5}\)

A czy prawdziwe jest, że
\(\displaystyle{ \left( n ^{p}-n \right) \mod p \equiv n ^{p} \mod p - n \mod p}\) ?