Strona 1 z 1
Ekstremala funkcjonału - F zależy tylko od y'
: 16 cze 2019, o 13:34
autor: cytrynka114
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Znajdź ekstremale funkcjonału:
\(\displaystyle{ \int_{3}^{1} (y'(1+ x^{2} y')dx}\)
Re: Ekstremala funkcjonału - F zależy tylko od y'
: 16 cze 2019, o 13:58
autor: Janusz Tracz
Jakiś dziwny ten przedział całkowania, na pewno tak miało to wyglądać? W zadaniu można skorzystać z
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnania_Eulera-Lagrange%E2%80%99a
. Funkcją Lagrange’a jest:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( y,y',x\right)=y'+ x^{2} y'^2}\)
kładąc to do równania dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial y'} \right) = \frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( 1+2x^2y'\right) =0}\)
oznacza to, że
\(\displaystyle{ x^2y'=C_1}\)
czyli
\(\displaystyle{ y(x)=- \frac{C_1}{x}+C_2}\)
Co można zapisać ze względy na dowolność stałych jako
\(\displaystyle{ y(x)= \frac{C_1}{x}+C_2}\)
kładąc warunki początkowe wyznaczysz
\(\displaystyle{ C_1,C_2}\)
Ekstremala funkcjonału - F zależy tylko od y'
: 16 cze 2019, o 14:11
autor: cytrynka114
Oczywiście przedział całkowania jest odwrotnie:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} (y'(1+x^2y')dx}\)
A dlaczego nie piszę, że:
\(\displaystyle{ 1+2x^2y'=C}\)?-- 16 cze 2019, o 14:51 --A jeszcze co się dzieje, jezeli F nie zależy od x?
Re: Ekstremala funkcjonału - F zależy tylko od y'
: 16 cze 2019, o 16:55
autor: Janusz Tracz
A dlaczego nie piszę, że:
\(\displaystyle{ 1+2x^2y'=C}\)?
Bo to jest to samo tylko, że dłużej. Aby
\(\displaystyle{ 1+2x^2y'}\) było stałe potrzebne jest by
\(\displaystyle{ x^2y'}\) było stałe. Mnożenia stałej przez
\(\displaystyle{ 2}\) i dodanie
\(\displaystyle{ 1}\) nie zmieni faktu stałości tego wyrażania. Innymi słowy:
\(\displaystyle{ 1+2x^2y'=\text{stała}}\)
\(\displaystyle{ 2x^2y'=\text{stała}-1}\)
\(\displaystyle{ x^2y'= \frac{\text{stała}-1}{2}=\text{ inna stała}}\)
A jeszcze co się dzieje, jeżeli \(\displaystyle{ F}\) nie zależy od \(\displaystyle{ x}\)?
A czym jest
\(\displaystyle{ F}\) bo nie wiem? Domyślam się, że funkcją Lagrange. Jeśli tak to, taki przypadek jest trochę bez sensu bo
\(\displaystyle{ x}\) jest zmienną niezależną poza tym
\(\displaystyle{ y=y(x)}\) więc zawsze funkcja Lagrange w jakiś sposób (być może nie jawny) od
\(\displaystyle{ x}\) zależy.-- 16 cze 2019, o 17:01 --Ale pytanie jest jak najbardziej zasadne jak postawisz je w sposób jednoznaczny. Gdy funkcja Lagrange nie zależy w jawny sposób od
\(\displaystyle{ x}\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial x}=0}\) to można skorzystać ze zmodyfikowanej wersji równania Lagrange do
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami_identity
.
Re: Ekstremala funkcjonału - F zależy tylko od y'
: 16 cze 2019, o 17:52
autor: cytrynka114
Ok, dziękuję bardzo
Dokładnie o równania Beltraniego mi chodziło, ponieważ miałam na kolokwium zadanie:
Znajdź ekstremale funkcjonału
\(\displaystyle{ I= \int_{1}^{2}y'(1+x^2y')dx}\)
właśnie ze wskazówką że F nie zależy o d x