żS-3, od: Sylwek, zadanie 1

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: Liga » 10 paź 2007, o 15:55

[quote="Sylwek"]\(\displaystyle{ f(x)=Ax^{2}+x+B\ln(x)}\)

Zacznijmy od dziedziny funkcji f(x): \(\displaystyle{ \mathbb{D}: \ x \in (0, +\infty)}\)
Obliczmy także pochodną funkcji f(x), ponieważ będę ją później wykorzystywał w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x}}\)


a. Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)=2 \\ f'(1)=4\end{cases} \\ \begin{cases}A+1+B \ln(1)=2 \\ 2A+1+B=4 \end{cases} \\ \begin{cases}A=1 \\ 2A+B=3 \end{cases} \\ \begin{cases} A=1 \\ B=1 \end{cases}}\)



b. Funkcja osiąga wartości ekstremalne, gdy f'(x)=0
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \iff (x=1 \vee x=2) \\ \begin{cases}2A+1+B=0 \\ 4A+1+\frac{B}{2}=0 \end{cases} \\ \begin{cases} 2A+B=-1 \\ 8A+B=-2 \end{cases} \\ 6A=-1 \\ A=-\frac{1}{6} \\ B=-\frac{2}{3} \\ \begin{cases} A=-\frac{1}{6} \\ B=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)



c. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Aby były spełnione warunki zadania, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x>0} f'(x) \geq 0 \\ \bigwedge\limits_{x>0} 2Ax+1+\frac{B}{x} \geq 0 \\ \bigwedge\limits_{x>0} 2Ax^2+x+B \geq 0}\)

Jeśli A\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} f'(x)=-\infty}\), czyli nie spełnia założeń zadania. Rozważmy teraz dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ 2A=0 \iff A=0}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x>0} x+B \geq 0 \iff B \geq 0 \\ \begin{cases}A=0 \\ B \geq 0 \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ 2A>0 \iff A>0 \\ \begin{cases} x_{1}x_{2} \geq 0 \\ x_{1}+x_{2} \leq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{B}{2A} \geq 0 \\ \frac{-1}{2A} \leq 0 \end{cases} \\ B \geq 0}\)

Podsumowując, warunki zadania sa spełnione, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}A \geq 0 \\ B \geq 0 \end{cases}}\)[/quote]
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:17 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: scyth » 10 paź 2007, o 23:17

a) 2pkt
b) 2pkt
c) 2pkt

razem 6/6

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6173
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 paź 2007, o 00:01

tak choc w ad c nic nie powiedział o Delcie.... i czemu sytuacja \(\displaystyle{ A q 0 , \ B ale to juz do osądu pozostałych... }\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: scyth » 11 paź 2007, o 08:26

No cóż - stosuje wzory Viete'a - stąd otrzymał taką a nie inną wartość B (przedostatnia klamra). Poza tym otrzymał z nich pierwiastki rzeczywiste równania, a wzory Viete'a są uniwersalne (obejmują również pierwiastki zespolone).

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-3, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: Tristan » 13 paź 2007, o 13:53

Jestem za 6/6.

ODPOWIEDZ