Przekształcenie Laplaca (tablice)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Mitopek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 28 lut 2017, o 10:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 4 razy

Przekształcenie Laplaca (tablice)

Post autor: Mitopek » 14 cze 2019, o 09:24

Witam,
Mam mały problem z przekształceniem Laplaca. W notatkach mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(s+a)(s^2+b^2} \Rightarrow z tablic \Rightarrow \frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} *[e^{-at}*sin\theta+sin(bt-\theta)] gdzie \theta = arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }}\)

I problem jest taki, że gdy patrze do tych tablic to ja osobiście nic takiego tam nie znajduje, więc czy ktoś umiałby mi odpowiedzieć skąd się to wzieło ? Bo napisane jest że z tablic

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 202 razy
Pomógł: 2845 razy

Re: Przekształcenie Laplaca (tablice)

Post autor: kerajs » 14 cze 2019, o 10:56

Rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(s+a)(s^2+b^2)}= \frac{ \frac{1}{a^2+b^2} }{s+a} +\frac{ \frac{-s}{a^2+b^2}+\frac{a}{a^2+b^2} }{s^2+b^2}=\frac{1}{a^2+b^2}\left[ \frac{1}{s+a}- \frac{s}{s^2+b^2}+ \frac{a}{b}\frac{b}{s^2+b^2} \right]}\)

Transformata odwrotna:
\(\displaystyle{ L^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)(s^2+b^2)} \right\} =L^{-1}\left\{ \frac{1}{a^2+b^2}\left[ \frac{1}{s+a}- \frac{s}{s^2+b^2}+ \frac{a}{b}\frac{b}{s^2+b^2} \right] \right\}= \frac{1}{a^2+b^2}\left[ e^{-at}- \cos bt+ \frac{a}{b}\sin bt \right]}\)

Uproszczenie (?) wyniku:
\(\displaystyle{ = \frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b(a^2+b^2)}\left[ a \sin bt -b\cos bt \right]= \frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}}\left[ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin bt -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos bt \right]=}\)
skoro
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \theta \wedge \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \theta}\)
to stosując wzór na sinus różnicy mam:
\(\displaystyle{ =\frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \sin (bt-\theta)}\)

Czyli coś innego niż powyżej. Widocznie ktoś coś źle przepisał.-- 14 cze 2019, o 13:52 --
kerajs pisze: mam:
\(\displaystyle{ =\frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \sin (bt-\theta)}\)

Czyli coś innego niż powyżej. Widocznie ktoś coś źle przepisał.
Oj, żle Ci napisałem gdyż można dalej przekształcać:
\(\displaystyle{ \frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \sin (bt-\theta)= \frac{be^{-at}}{b(a^2+b^2)}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \sin (bt-\theta)= \frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \left[ \frac{be^{-at}}{ \sqrt{a^2+b^2}}+ \sin (bt-\theta) \right]= \frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \left[ (\sin \theta) e^{-at}+ \sin (bt-\theta) \right]}\)
Czyli jednak jest DOBRZE.

Przepraszam za zamieszanie.

ODPOWIEDZ