Równanie różniczkowe niezupełne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4966
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: janusz47 » 13 cze 2019, o 11:30

Proszę rozwiązać równanie różniczkowe

\((e^{2x} -y^2) dx +ydy = 0 \ \ (1)\)

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

\(P'_{|y}(x,y) = -2y \neq Q'_{|x}(x,y) = 0\) - równanie nie spełnia warunku zupełności.

Musimy znaleźć czynnik całkujący \(\mu\) - funkcję, która po wymnożeniu stronami równania spowoduje, że stanie się ono równaniem zupełnym.

\(A(x) = \frac{P'_{|y}(x,y) - Q'{|x}(x,y)}{Q(x, y)}\)

\(A(x) = \frac{-2y - 0}{y} = -\frac{2y}{y} = -2.\)

Funkcja \(A\) jest funkcją stałą - niezależną od zmiennej \(y,\) zatem czynnik całkujący dla tego równania zależy tylko od zmiennej \(x.\)

\(\mu(x) = e^{\int A(x)dx }\)

\(\mu(x) = e^{\int -2 dx} = e^{-2x} \ \ (2)\)

Po pomnożeniu stronami równania \((1)\) przez funkcję \((2)\) - otrzymujemy równanie

\((e^{-2x +2x} -y^2 e^{-2x})dx + ye^{-2x}dy = 0\)

\((e^{0} -y^2e^{-2x})dx + ye^{-2x}dy = 0\)

\((1 - y^2e^{-2x} )dx +ye^{-2x}dy = 0 \ \ (3)\)

Równanie \((3)\) jest już równaniem zupełnym , bo spełnia warunek różniczki zupełnej:

\(P'_{|y}(x,y) = -2y e^{-2x}= Q'_{|x}(x,y) = -2ye^{-2x}.\)

Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania \((3)\)

\(P(x,y) = 1 - y^2 e^{-2x} \ \ Q(x,y) = ye^{-2x}\)

\(F'(x,y)_{|x} = 1 -y^2 e^{-2x}, \ \ F'(x,y)_{|y} = ye^{-2x} \ \ (4)\)

Całkujemy pierwsze równanie względem \(x\)

\(F(x,y) = x + \frac{1}{2}y^2e^{-2x} + \phi(y) \ \ (5)\)

\(\phi(y)\) jest dowolną funkcją różniczkowalną pełniącą rolę stałej całkowania.

Różniczkujemy równanie \((4)\) względem \(y\)

\(F'(x,y)_{|y} = 2y e^{-2x} + \phi'(y) \ \ (6)\)

Porównujemy równania \((4), (6)\)

\(2ye^{-2x} +\phi'(y) = ye^{-2x}\)

\(\phi'(y) = y e^{-2x}\)

\(\phi(y) = \int y e^{-2x}dy = \frac{1}{2}y^2 e^{-2x} + C \ \ (7)\)

Podstawiamy równanie \((7)\) do równania \((5)\)

Rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja

\(F(x,y) = x + y^2e^{-2x} + C.\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3706
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: arek1357 » 13 cze 2019, o 13:23

Brawa wielkie, ale co ja mam z tego albo inni użytkownicy...

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4966
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: janusz47 » 13 cze 2019, o 15:52

Arek1357 bez braw wielkich. O rozwiązanie tego zadania prosił mnie jeden ze studentów - były uczestnik forum, któremu uczestnictwo na tym forum zostało zawieszone.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: mariuszm » 14 cze 2019, o 08:34

janusz47, czy aby na pewno musimy sprowadzać do zupełnego ?
Na pierwszy rzut oka widać że jest to równanie Bernoulliego


\((e^{2x} -y^2) dx +ydy = 0 \\ e^{2x} -y^2+ y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-y+e^{2x} \cdot \frac{1}{y} \\\)

Równanie Bernoullego o \(r=-1\)

\(e^{2x} -y^2+ y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\ 2e^{2x} -2y^2+ 2y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\ u=y^2\\ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }=2y \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \\ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u+2e^{2x}=0\\ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=-2e^{2x}\\\)

Otrzymaliśmy równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu

Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne rozdzielając zmienne
a następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne równania liniowego jednorodnego
uzmienniając stałą

\(\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=-2e^{2x}\\ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=0\\ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }=2u\\ \frac{ \mbox{d}u}{ u }=2\mbox{d}x \\ \ln{\left| u\right| }=2x+\ln{C}\\ u=Ce^{2x}\\ u\left( x\right) =C\left( x\right) e^{2x}\\ C'\left( x\right) e^{2x}+2C\left( x\right) e^{2x}-2C\left( x\right) e^{2x}=-2e^{2x}\\ C'\left( x\right) e^{2x}=-2e^{2x}\\ C'\left( x\right)=-2\\ C\left( x\right)=-2x+C_{1} \\\)

\(u\left( x\right)=\left( -2x+C_{1}\right)e^{2x} \\ y^2\left( x\right)=-2xe^{2x} +C_{1}e^{2x}\\\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4966
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: janusz47 » 14 cze 2019, o 12:37

Równanie pojawiło się w równaniach zupełnych.

ODPOWIEDZ