Równanie różniczkowe niezupełne

[janusz47]

Proszę rozwiązać równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ (e^{2x} -y^2) dx +ydy = 0 \ \ (1)}\)

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

\(\displaystyle{ P'_{|y}(x,y) = -2y \neq Q'_{|x}(x,y) = 0}\) - równanie nie spełnia warunku zupełności.

Musimy znaleźć czynnik całkujący \(\displaystyle{ \mu}\) - funkcję, która po wymnożeniu stronami równania spowoduje, że stanie się ono równaniem zupełnym.

\(\displaystyle{ A(x) = \frac{P'_{|y}(x,y) - Q'{|x}(x,y)}{Q(x, y)}}\)

\(\displaystyle{ A(x) = \frac{-2y - 0}{y} = -\frac{2y}{y} = -2.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ A}\) jest funkcją stałą - niezależną od zmiennej \(\displaystyle{ y,}\) zatem czynnik całkujący dla tego równania zależy tylko od zmiennej \(\displaystyle{ x.}\)

\(\displaystyle{ \mu(x) = e^{\int A(x)dx }}\)

\(\displaystyle{ \mu(x) = e^{\int -2 dx} = e^{-2x} \ \ (2)}\)

Po pomnożeniu stronami równania \(\displaystyle{ (1)}\) przez funkcję \(\displaystyle{ (2)}\) - otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{ (e^{-2x +2x} -y^2 e^{-2x})dx + ye^{-2x}dy = 0}\)

\(\displaystyle{ (e^{0} -y^2e^{-2x})dx + ye^{-2x}dy = 0}\)

\(\displaystyle{ (1 - y^2e^{-2x} )dx +ye^{-2x}dy = 0 \ \ (3)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (3)}\) jest już równaniem zupełnym , bo spełnia warunek różniczki zupełnej:

\(\displaystyle{ P'_{|y}(x,y) = -2y e^{-2x}= Q'_{|x}(x,y) = -2ye^{-2x}.}\)

Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (3)}\)

\(\displaystyle{ P(x,y) = 1 - y^2 e^{-2x} \ \ Q(x,y) = ye^{-2x}}\)

\(\displaystyle{ F'(x,y)_{|x} = 1 -y^2 e^{-2x}, \ \ F'(x,y)_{|y} = ye^{-2x} \ \ (4)}\)

Całkujemy pierwsze równanie względem \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ F(x,y) = x + \frac{1}{2}y^2e^{-2x} + \phi(y) \ \ (5)}\)

\(\displaystyle{ \phi(y)}\) jest dowolną funkcją różniczkowalną pełniącą rolę stałej całkowania.

Różniczkujemy równanie \(\displaystyle{ (4)}\) względem \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ F'(x,y)_{|y} = 2y e^{-2x} + \phi'(y) \ \ (6)}\)

Porównujemy równania \(\displaystyle{ (4), (6)}\)

\(\displaystyle{ 2ye^{-2x} +\phi'(y) = ye^{-2x}}\)

\(\displaystyle{ \phi'(y) = y e^{-2x}}\)

\(\displaystyle{ \phi(y) = \int y e^{-2x}dy = \frac{1}{2}y^2 e^{-2x} + C \ \ (7)}\)

Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (7)}\) do równania \(\displaystyle{ (5)}\)

Rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja

\(\displaystyle{ F(x,y) = x + y^2e^{-2x} + C.}\)

[arek1357]

Brawa wielkie, ale co ja mam z tego albo inni użytkownicy...

[janusz47]

Arek1357 bez braw wielkich. O rozwiązanie tego zadania prosił mnie jeden ze studentów - były uczestnik forum, któremu uczestnictwo na tym forum zostało zawieszone.

[Mariusz M]

janusz47, czy aby na pewno musimy sprowadzać do zupełnego ?
Na pierwszy rzut oka widać że jest to równanie Bernoulliego


\(\displaystyle{ (e^{2x} -y^2) dx +ydy = 0 \\
e^{2x} -y^2+ y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-y+e^{2x} \cdot \frac{1}{y} \\}\)

Równanie Bernoullego o \(\displaystyle{ r=-1}\)

\(\displaystyle{ e^{2x} -y^2+ y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
2e^{2x} -2y^2+ 2y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
u=y^2\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }=2y \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u+2e^{2x}=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=-2e^{2x}\\}\)

Otrzymaliśmy równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu

Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne rozdzielając zmienne
a następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne równania liniowego jednorodnego
uzmienniając stałą

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=-2e^{2x}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }=2u\\
\frac{ \mbox{d}u}{ u }=2\mbox{d}x \\
\ln{\left| u\right| }=2x+\ln{C}\\
u=Ce^{2x}\\
u\left( x\right) =C\left( x\right) e^{2x}\\
C'\left( x\right) e^{2x}+2C\left( x\right) e^{2x}-2C\left( x\right) e^{2x}=-2e^{2x}\\
C'\left( x\right) e^{2x}=-2e^{2x}\\
C'\left( x\right)=-2\\
C\left( x\right)=-2x+C_{1} \\}\)

\(\displaystyle{ u\left( x\right)=\left( -2x+C_{1}\right)e^{2x} \\
y^2\left( x\right)=-2xe^{2x} +C_{1}e^{2x}\\}\)

[janusz47]

Równanie pojawiło się w równaniach zupełnych.