Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mateusz1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: olsztyn

Równanie różniczkowe

Post autor: mateusz1234 » 10 cze 2019, o 21:25

Witam,
Prosze o pomoc w rozwiązaniu danego równania rózniczkowego, próbowałem na różne sposoby i nic z tego nie wychodzi. Wiem ze trzeba to zrobić za pomocą uzmienniania stałej:

\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x}\)
Ostatnio zmieniony 10 cze 2019, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2868
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 10 cze 2019, o 21:28

To pokaż te próby bo równanie jest z tych bardziej standardowych.

mateusz1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: olsztyn

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: mateusz1234 » 10 cze 2019, o 21:36

Za dużo kartek, i nawet nie wiem jak miałbym to pokazać

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2868
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 10 cze 2019, o 21:37

Nie ma rączek, nie ma równanek różniczkowych.

mateusz1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: olsztyn

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: mateusz1234 » 10 cze 2019, o 21:39

Yhy, dobra wyznaczam y i mam z tego ze równa sie 3x. Następnie nie mogę tego skrócić i wychodzą dziwne równania.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26532
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: Jan Kraszewski » 10 cze 2019, o 21:43

Kartek? Mocno przesadzasz. Może czynnik całkujący?

\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\ /\ \cdot\frac{1}{x^3}\\ \frac{y'}{x^3}-\frac{3y}{x^4}=\frac{1}{x^2}\\ \left( \frac{y}{x^3}\right)'= \frac{1}{x^2}}\)

i całkujesz.

Całe rozwiązanie to max. sześć linijek.

JK

mateusz1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: olsztyn

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: mateusz1234 » 10 cze 2019, o 22:00

A przypadkiem w równaniach różniczkowych nie trzeba rozdzielić, ze y są z jednej a x z drugiej strony?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2868
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 10 cze 2019, o 22:03

Niekoniecznie. To nie jest równanie ze zmiennymi rozdzielonymi tylko równanie liniowe niejednorodne. By je rozwiązać albo zauważysz to co Pan Jan napisała albo pójdziesz schematem i zaczniesz od równania jednorodnego.

\(\displaystyle{ y'= \frac{3}{x}y}\)

umiesz je rozwiązać?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26532
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Jan Kraszewski » 10 cze 2019, o 22:15

Janusz Tracz pisze:By je rozwiązać albo zauważysz to co Pan Jan napisała albo pójdziesz schematem i zaczniesz od równania jednorodnego.
No akurat trudno o coś bardziej schematycznego niż czynnik całkujący...

Dla równania \(\displaystyle{ y'+f(x)y=g(x)}\) czynnik całkujący to \(\displaystyle{ \exp\left( \int f(x)dx\right)}\).

JK

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6738
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1219 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: mariuszm » 11 cze 2019, o 16:34

mateusz1234 pisze:A przypadkiem w równaniach różniczkowych nie trzeba rozdzielić, ze y są z jednej a x z drugiej strony?
Można zastosować podstawienie a następnie pogrupować równanie
tak aby było możliwe rozdzielenie zmiennych

\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\\ y=uv\\ y'=u'v+uv'\\ u'v+uv'- \frac{3}{x} \cdot uv=x\\ u'v+\left( v'- \frac{3}{x}v\right)u=x\\ v'- \frac{3}{x}v=0\\ v'=\frac{3}{x}v\\ \frac{ \mbox{d}v}{v}= \frac{3}{x} \mbox{d}x \\ \ln{\left| v\right| } = 3\ln\left| x\right|\\ v=x^3\\ u'x^3=x\\ u'=\frac{1}{x^2}\\ u= -\frac{1}{x} +C\\ y=\left(-\frac{1}{x} +C \right)x^3\\ y=-x^2+Cx^3\\}\)

ODPOWIEDZ