Transmitancja operatorowa równania różniczkowego

[karpiuch]

Witam,
dostałem zadanie o treści: Co to jest transmitancja operatorowa ukł. dynamicznego? Znajdź transmitancję operatorową układu opisanego równaniem różniczkowym drugiego rzędu:
\(\displaystyle{ 2y'' - 2y' + 3y = 4x}\)

Rozumiem, że \(\displaystyle{ 4x}\) jest znaną mi funkcją, a działać mam tylko na \(\displaystyle{ y}\)?
Zacząć od
\(\displaystyle{ 2(s^{2}Y(s) - sY(0) - Y'(0)) - 2(sY(s) - Y(0)) + 3Y(s) = 4x}\)?

Czy w ogóle źle to rozumiem i od czego zacząć?

[Janusz Tracz]

To co piszesz jest w miarę poprawne, choć jest kilka błędów. Transmitancję definiuje się dla obiektów o zerowych warunkach początkowych (i oczywiście liniowych) dlatego \(\displaystyle{ y(0)=0}\) oraz \(\displaystyle{ y'(0)=0}\). Poza tym faktycznie \(\displaystyle{ 4x}\) można traktować jak znaną funkcję w kontekście układów dynamicznych jest to wejście układu lub wymuszenie jakie zadajesz na układ, czasem mówi się o pobudzeniu układu funkcją. Natomiast \(\displaystyle{ y}\) jest odpowiedzią układów na ów wymuszenie. Transmitancję definiuje się jako funkcję:

\(\displaystyle{ \mathcal{H}(s)= \frac{\mathcal{L}\left\{ \text{wyjście}\right\} }{\mathcal{L}\left\{ \text{wejście}\right\}}}\)

Transformując równanie (konstytutywne obiektu) stronami otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2s^2Y-2sY+3Y= 4X}\)

zatem

\(\displaystyle{ Y(2s^2-2s+3)=4X}\)

więc

\(\displaystyle{ \mathcal{H}(s)= \frac{Y}{X}= \frac{4}{2s^2-2s+3}}\)

[karpiuch]

Dziękuję za odpowiedź.
Czyli przy wzorze
\(\displaystyle{ G(s) = \frac{U(s)}{X(s)}}\)
\(\displaystyle{ X(s) = 2s^{2} - 2s + 3}\), a \(\displaystyle{ U(s) = 4}\)?
I to jest już koniec obliczeń?

[Janusz Tracz]

Tak