Rozwiązać równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
matiz17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 13 sty 2019, o 10:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: matiz17 » 10 cze 2019, o 01:08

Pomoże Ktoś rozwiązać takie równanie różniczkowe zupełne z czynnikiem całkującym?

\(\displaystyle{ (e^{2x} - y^{2})dx + ydy = 0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7595
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3002 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 10 cze 2019, o 07:30

\(\displaystyle{ (e^{2x} - y^{2})'_y=-2y\\ (y)'_x=0}\)
Aby druga z pochodnych się nie zerowała zakładam, że czynnik całkujący jest funkcją zmiennej x.
\(\displaystyle{ (f(x)e^{2x} - f(x) y^{2})'_y=-f(x) \cdot 2y\\ (f(x)y)'_x=yf'(x)\\ yf'(x)=-2yf(x) \\ \frac{df}{f(x)}=-2dx\\ f(x)=e^{-2x}}\)
równanie ma postać:
\(\displaystyle{ (1-e^{-2x} y^2)dx+(e^{-2x} y)dy=0}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{}^{}(1-e^{-2x} y^2)dx=x+ \frac{1}{2}e^{-2x} y^2+C(y)\\ F(x,y)'_y=e^{-2x} y+C'(y) \ \ \ \wedge \ \ \ F(x,y)'_y=(e^{-2x} y) \ \ \ \Rightarrow C'(y)=0 \Rightarrow C(y)=K\\ F(x,y)= x+ \frac{1}{2}e^{-2x} y^2+K}\)

ODPOWIEDZ