Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
nadro0404
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 12 lut 2017, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tu
Podziękował: 5 razy

Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Post autor: nadro0404 » 9 cze 2019, o 17:07

Funkcja
\(\displaystyle{ f(t)= e^{-2t} \ast \cos t}\)
Nie za bardzo wiem, jak wyznaczyć tą transformatę w tym zadaniu. Mógłby ktoś pomóc?
Ostatnio zmieniony 9 cze 2019, o 17:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 66 razy
Pomógł: 4656 razy

Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Post autor: Premislav » 9 cze 2019, o 17:21

Czy chodzi o mnożenie, czy jednak o splot?
Jeśli o splot, to twierdzenie Borela o splocie się kłania, jeśli mnożenie to normalnie liczysz całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}e^{-2t}\cos te^{-st}\,\dd t\\= \int_{0}^{+\infty}\cos t e^{-(s+2)t}\,\dd t\\= \frac{s+2}{s^2+4s+5}}\)

nadro0404
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 12 lut 2017, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tu
Podziękował: 5 razy

Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Post autor: nadro0404 » 9 cze 2019, o 17:43

Chodzi o splot, dzięki, zgadza się z odpowiedzią.

A w takim czymś mógłbyś pomóc?
Mam wyznaczyć oryginał \(\displaystyle{ f(t)= L^{-1}[F(s)]}\)
jeżeli \(\displaystyle{ F(s)= \frac{9}{ (s ^{2} +9)^{2} }}\)
będę bardzo wdzięczny

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 66 razy
Pomógł: 4656 razy

Re: Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Post autor: Premislav » 9 cze 2019, o 18:06

Zobaczmy, co da się zrobić:
\(\displaystyle{ \frac{9}{(s^2+9)^2} = \frac{9+s^2-s^2}{(s^2+9)^2} \\= \frac{1}{s^2+9}- \frac{s^2}{(s^2+9)^2}\\=\frac 1 3\cdot \frac{3}{s^2+9}-\left( \frac{s}{s^2+9}\right)^2}\)

Z podstawowych wzorów mamy
\(\displaystyle{ \frac{3}{s^2+3^2}=\mathcal{L}\left\{ \sin (3t)\right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{s}{s^2+3^2}=\mathcal{L}\left\{ \cos(3t)\right\}}\),
ale tam jest jeszcze ten kwadrat, no to
\(\displaystyle{ \left( \frac{s}{s^2+9} \right)^2=\mathcal{L}\left\{ \cos(3t)*\cos(3t)\right\}}\)
(gdzie \(\displaystyle{ *}\) oznacza splot) z twierdzenia Borela.
Czyli z liniowości transformaty Laplace'a mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 3\cdot \frac{3}{s^2+9}-\left( \frac{s}{s^2+9}\right)^2=\mathcal{L}\left\{ \frac 1 3\sin(3t)-\cos(3t)*\cos(3t)\right\}}\)
i ostatecznie dostajemy (bo transformata Laplace'a jest \(\displaystyle{ 1-1}\))
\(\displaystyle{ f(t)= \frac 1 3\sin(3t)-\cos(3t)*\cos(3t)}\)
Być może ten splot da się zapisać prościej, ale osobiście nie widzę potrzeby.

nadro0404
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 12 lut 2017, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tu
Podziękował: 5 razy

Re: Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Post autor: nadro0404 » 9 cze 2019, o 21:55

Dzięki wielkie!

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1216 razy

Re: Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

Post autor: mariuszm » 10 cze 2019, o 19:22

Premislav, jakiś czas temu odwracałeś już to przekształcenie ze wzoru Leibniza

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}s}\left( \frac{s}{s^2+9} \right) =\frac{1 \cdot \left( s^2+9\right)-s \cdot 2s }{\left( s^2+9\right)^2 } \\ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}s}\left( \frac{s}{s^2+9} \right)=\frac{9-s^2}{\left( s^2+9\right)^2 }\\ \frac{s^2+9}{\left( s^2+9\right)^2}+\frac{9-s^2}{\left( s^2+9\right)^2 }=\frac{18}{\left( s^2+9\right)^2 }\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\sin{3t}-t\cos{3t}\right)\\ =\frac{1}{6}\sin{3t}-\frac{1}{2}t\cos{3t}\\}\)

Jeżeli chodzi o splot to można od razu spleść dwa sinusy

\(\displaystyle{ \sin{3t}*\sin{3t}\\ \int_{0}^{t}{\sin{3\tau}\sin{3\left( t-\tau\right) } \mbox{d}\tau}\\ \cos{\left( A-B\right) }=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\ \cos{\left( A+B\right) }=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\ \frac{1}{2}\int_{0}^{t}{\cos{\left( 6\tau-3t\right) }-\cos{\left( 3t\right) }\mbox{d}\tau}\\ \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{6}\sin{\left( 3t\right) }-t\cos{3t}\right)-\left(\frac{1}{6}\sin{\left( 3t\right) }-0\right)\right)\\ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\sin{3t} -t\cos{3t} \right) \\ \frac{1}{6}\sin{3t}-\frac{1}{2}t\cos{3t}\\}\)

ODPOWIEDZ