Matematyka.pl

Mam zbadać czy funkcja jest holomorficzna
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{ z^{2} }}\)
wiem, że \(\displaystyle{ z = x+yi}\) tylko nie bardzo potrafię to tak rozdzielić żeby część rzeczywista i urojona były osobno, co w poprzednich przykładach przychodziło z łatwością, proszę o pomoc w przekształceniu.

Ojej, to chcesz z Cauchy'ego-Riemanna robić? Moim zdaniem prościej z definicji:
ta funkcja jest określona na \(\displaystyle{ \CC\setminus\left\{ 0\right\}}\).
Ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ z\neq 0}\), mamy wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{ h\to 0 } \frac{ \frac{1}{(z+h)^2} - \frac{1}{z^2} }{h}\\= \lim_{h \to 0} \frac{z^2-(z+h)^2}{hz^2(z+h)^2} = \lim_{ h \to 0} \frac{-2z-h}{z^2(z+h)^2} \\=-\frac{2z}{z^4}=-\frac{2}{z^3}}\)
Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest holomorficzna w \(\displaystyle{ \CC\setminus\left\{ 0\right\}}\).