Matematyka.pl

Mam takie zadanie:

Niech\(\displaystyle{ X_1, X_2, ...,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie.
Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i}\) jeśli \(\displaystyle{ X_1}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}\)

I nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać, może jakoś indukcyjnie splotem?

Z góry dziękuje za wszystkie odpowiedzi.

W sumie tak można, ale wtedy jest trochę do liczenia. Przy czym wtedy wygodniej byłoby znaleźć w ten sposób rozkład \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i}\) (ta \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) też się zmienia oczywiście wraz z \(\displaystyle{ n}\), więc psułaby trochę rachunki), a potem pokazać, jak zadziała pomnożenie przez \(\displaystyle{ \frac 1 n}\).
A czy znasz może funkcje charakterystyczne? Z ich użyciem byłoby szybciej (funkcja charakterystyczna sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych).
Można też przez funkcje tworzące momenty, ostatecznie przez własności wielowymiarowego rozkładu normalnego.

Właśnie poznaję funkcje charakterystyczne, więc może wtedy na coś wpadnę.

Czyli wtedy \(\displaystyle{ \phi_{\bar{X}} \left( t \right) =\phi_{X_1} \left( \frac{t}{n} \right) \cdot ... \cdot \phi_{X_n} \left( \frac{t}{n} \right)}\)??

Zgadza się. No i trzeba tutaj znać ogólną postać funkcji charakterystycznej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\). To tak się przedstawia:
\(\displaystyle{ e^{\mu it- \frac{\sigma^2t^2}{2} }}\)

Dziękuję za pomoc