Delta zespolona

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
foe
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2018, o 14:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Delta zespolona

Post autor: foe » 6 cze 2019, o 19:13

Witam, mam problem... bo nie rozumiem co zrobić gdy wyniki z delty są ujemne dla równania różniczkowego. Jestem w takim miejscu: (to są pierwiastki)

\(r_{1}=-1 , r_{2}=1, r_{3}=i, r_{4}=-i\)

Jak dalej doprowadzić do głównego wyniku?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Delta zespolona

Post autor: Jan Kraszewski » 6 cze 2019, o 19:21

A jakie równanie rozważasz?

JK

foe
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2018, o 14:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Re: Delta zespolona

Post autor: foe » 6 cze 2019, o 19:23

\(y ^{IV}-y=0\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Delta zespolona

Post autor: Premislav » 6 cze 2019, o 19:29

\(y(t)=C_1 \sin t+C_2\cos t+C_3e^t+C_4e^{-t}\)
Ogólnie można skorzystać z tego, że
\(\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}, \ \sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\)

foe
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2018, o 14:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Re: Delta zespolona

Post autor: foe » 6 cze 2019, o 19:32

Dlaczego tak? Skąd taki wzór na \(\cos t,\sin t\) ?
Ostatnio zmieniony 6 cze 2019, o 19:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Delta zespolona

Post autor: Premislav » 6 cze 2019, o 20:15

Mamy ze wzoru Eulera:
\(\cos t+i\sin t=e^{it}\\\cos(-t)+i\sin(-t)=e^{-it}\)
czyli
\(\cos t+i\sin t=e^{it}\\\cos t-i\sin(-t)=e^{-it}\)
gdyż sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.
Dodajemy stronami i mamy \(2\cos t=e^{it}+e^{-it}\), dzielimy przez dwa i jest wzór na cosinus, odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego i dostajemy
\(2i\sin t=e^{it}-e^{-it}\),
dzielimy stronami przez \(2i\) i mamy wzór na sinus.

Z równania charakterystycznego wychodziły nam \(e^{\pm i t}\), no to teraz jeśli pewne dwie funkcje spełniają równanie różniczkowe liniowe jednorodne, to ich kombinacja liniowa też.

ODPOWIEDZ