Matematyka.pl

Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ n> m}\) są liczbami naturalnymi, to \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić sako sumę dwóch składników z których jeden jest dzielnikiem \(\displaystyle{ m}\) a drugi jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ m}\)

Niech \(\displaystyle{ n,m \in \NN}\) i \(\displaystyle{ n > m}\).

Każdą liczbę \(\displaystyle{ n > 1}\) (gdzie \(\displaystyle{ 1}\) jest najmniejszą wartością jaką może przyjąć \(\displaystyle{ m}\)) da się przedstawić jako:
\(\displaystyle{ n = 1 + (n - 1)}\) \(\displaystyle{ 1}\) oczywiście jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ m,}\) dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ m.}\)

Wiemy, że skoro \(\displaystyle{ n > m}\), to \(\displaystyle{ n-1 \ge m}\), więc zawsze: \(\displaystyle{ NWD\left\{ 1, n-1\right\} = 1}\)

Co kończy dowód.

I wiem, że to żaden szał, ale w momencie, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ m}\) nie ma innego wyjścia.

W innych przypadkach można pobawić się w arytmetykę modularną i wykazać, że będą również inne takie rozkłady, ale autor zadania nie wymaga.