Wyprowadzenie wzoru, dowód i jedno równanie.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
phase
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 paź 2007, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyprowadzenie wzoru, dowód i jedno równanie.

Post autor: phase » 9 paź 2007, o 22:27

1. Udowodnij wzory Eulera:

\(\displaystyle{ \sin(\alpha)=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \cos(\alpha)=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}}\)

2. Wyprowadź wzór na: \(\displaystyle{ \sin(2x)}\), \(\displaystyle{ \cos(2x)}\) i \(\displaystyle{ \sin(3x)}\)

3. Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ e^{i\varphi}e^{i\o}=e^{i(\varphi+\o)}}\)

4. Rozwiązać równania:

\(\displaystyle{ z^{4}+z^{2}+1=0 \ , \ z^{2}-4i=0 \ , \ oraz \ z^{2}+3z+3-i=0}\)

Troche tego jest, ja mam [mialem (sic!)] pomysly jak to zrobic lecz pewna pani dr stwierdzila, ze nie sa zbyt dobre, zatem podalem te przyklady tutaj. Licze na pomoc, dziekuje.

Pozdrawiam, P.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2007, o 16:58 przez phase, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Wyprowadzenie wzoru, dowód i jedno równanie.

Post autor: kuch2r » 12 paź 2007, o 13:29

Ad.1
Wykorzystaj rozwiniecia funckji \(\displaystyle{ e^x,\cos{x}, \sin{x}}\) w szereg Maclaurina.
Ad.2
\(\displaystyle{ \sin{(2x)}=\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})(e^{ix}+e^{-ix})}{2i}=\\=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})}{2i}\cdot 2\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}=2\sin{x}\cos{x}}\)

\(\displaystyle{ \cos{(2x)}=\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})^2-2e^{ix}\cdot e^{-ix}}{2}=2\cdot\frac{(e^{ix}+e^{-ix})^2}{4}-1=2\cos^2{x}-1}\)

itd...

Ad.3
Skorzystaj z faktu, ze:
\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}}\)
troche zabawy i powinno wyjsc.

Jopekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 9 maja 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edynburg
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 15 razy

Wyprowadzenie wzoru, dowód i jedno równanie.

Post autor: Jopekk » 12 paź 2007, o 14:39

Ad 4.

Czwarte bardzo ładnie wychodzi podstawiasz a+bi pod z...
Porządkujesz i przyrównujesz część rzeczywistą do rzeczywistej i urojoną do urojonej.

Ad. 3

Ja bym ta postac eulera zamienił na:

\(\displaystyle{ cis\alpha=e^{i\alpha}}\)

Teraz co do treści zadania:

Przemnażasz sobie: \(\displaystyle{ cis\alpha cis\beta=cis(\alpha+\beta)=e^{i(\alpha+\beta)}\).

Wydaje mi się, że wszystkie dowody powyższego są na forum... ( ja zakładam, że \(\displaystyle{ cis\alpha=\cos\alpha+i\sin\alpha}\)

ODPOWIEDZ