Matematyka.pl

Witam
Czy mógłby ktoś zamieścić (lub dać wskazówke) dowód twierdzenia które mówi że jeżeli w czworkącie \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia się przekątnych to zachodzi równość \(\displaystyle{ ABS \cdot CDS=BCS \cdot DAS.}\)

To nie jest prawda

Ale obydwa te iloczyny są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}AS\cdot BS \cdot CS \cdot DS \cdot\sin^2\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między przekątnymi.

Oczywiście potrzebne jest założenie, że czworokąt jest wypukły. W przeciwnym razie przekątne się nie przecinają.

Musi być to w czworokącie wypukłym.

Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną \(\displaystyle{ BD}\) wysokości \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h_2}\), odpowiednio z punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\), to oba iloczyny są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2}\) - zatem są równe.

P.S. Jak widać po powyższym rozumowaniu, wykorzystaliśmy jedynie to, że \(\displaystyle{ BD}\) jest przekątną. Rozumowanie też jest więc prawdziwe dla jednej przekątnej (np. \(\displaystyle{ BD}\)) i dowolnego punktu \(\displaystyle{ S}\) na tej przekątnej.

To zadanie się często pojawia na "kangurach" - mając trzy spośród tych pól, wyznacz czwarte