Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Dariomario
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lut 2019, o 09:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: Dariomario » 23 maja 2019, o 19:18

Witam, chciałbym zrozumieć w jaki sposób rozwiązać takie równania, korzystając z metody rozdzielania zmiennych:

\(\displaystyle{ a)\ u_t=3u_x \\ b)\ u_x+u_y=0 \\ c)\ u_x+e^{-x}u_y=0}\)

Bardzo dziękuje za każdą poradę i pomoc

Do przykładu a:
Zakładam, że istnieje rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ u(x,t) = X(x) \cdot T(t)}\)
\(\displaystyle{ U_x=X'(x) \cdot T(t) \\ U_t=X(x) \cdot T'(t)}\)

wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ X(x) \cdot T'(t) = 3 \cdot (X'(x) \cdot T(t)) \\ X(x) \cdot T'(t) = 3X'(x) \cdot 3T(t) \\ \frac{X(x)}{3X'(x)}=\frac{3T(t)}{T'(t)}}\)
więc udało się rozdzielić zmienne. Co dalej?
Ostatnio zmieniony 24 maja 2019, o 00:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18713
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3713 razy

Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: szw1710 » 24 maja 2019, o 00:32

Skoro lewa strona zależy tylko od \(\displaystyle{ x}\), a prawa tylko od \(\displaystyle{ t}\), to obie muszą być (tą samą) stałą.

Dariomario
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lut 2019, o 09:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: Dariomario » 24 maja 2019, o 21:07

Ok, dziękuje. Postanowiłem wziąć więc na tapetę przykład:
\(\displaystyle{ U_t = U \cdot U_x}\)
zakładamy, że:
\(\displaystyle{ u(x,t) = X(x) \cdot T(t) \\ U_t=X \cdot T' \\ U_x = X' \cdot T \\ U = X \cdot T}\)
wstawiając do równania otrzymuje:
\(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T \\ \frac{T'}{T^2} = X' = k - const \\ \frac{T'}{T^2}=k \\ T' = kT^2 \\ \frac{dT}{dx} = kT^2 \\ \frac{dT}{T^2}=kdx \\ - \frac{1}{t}+C_1 = kx \\ T(t) = - \frac{1}{kx}+ \frac{1}{C_1}}\)

rozwiązując drugą część równania:
\(\displaystyle{ X' = k \\ \frac{dX}{dx} = k \\ dX = kdx \\ X = kx + C_2 \\ X(x) = kX + C_2}\)

wstawiając do równania, mogę \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zapisać jako \(\displaystyle{ C}\)?:
\(\displaystyle{ U(x,t) = - \frac{1}{kx} \cdot kX + C}\)

Bardzo dziękuje za pomoc
Ostatnio zmieniony 24 maja 2019, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18136
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3061 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: a4karo » 24 maja 2019, o 21:20

Dariomario pisze:Ok, dziękuje. Postanowiłem wziąć więc na tapetę przykład:
\(\displaystyle{ U_t = U \cdot U_x}\)
zakładamy, że:
\(\displaystyle{ u(x,t) = X(x) \cdot T(t)}\)
\(\displaystyle{ U_t=X \cdot T'}\)
\(\displaystyle{ U_x = X' \cdot T}\)
\(\displaystyle{ U = X \cdot T}\)
wstawiając do równania otrzymuje:
\(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T}\)
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2} = X' = k - const}\)
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2}=k}\)
\(\displaystyle{ T' = kT^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dT}{dx} = kT^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dT}{T^2}=kdx}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{t}+C_1 = kx}\)
\(\displaystyle{ T(t) = - \frac{1}{kx}+ \frac{1}{C_1}}\)

rozwiązując drugą część równania:
\(\displaystyle{ X' = k}\)
\(\displaystyle{ \frac{dX}{dx} = k}\)
\(\displaystyle{ dX = kdx}\)
\(\displaystyle{ X = kx + C_2}\)
\(\displaystyle{ X(x) = kX + C_2}\)

wstawiając do równania, mogę \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zapisać jako \(\displaystyle{ C}\)?:
\(\displaystyle{ U(x,t) = - \frac{1}{kx} \cdot kX + C}\)

Bardzo dziękuje za pomoc
Znaki "prim" w równaniu \(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T}\) oznaczają różniczkowania po różnych zmiennych.
Zanalizuj jeszcze raz swoje "rozwiązanie"

Dariomario
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lut 2019, o 09:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: Dariomario » 24 maja 2019, o 21:24

No rozumiem, dążę do tego aby X zostawić po jednej stronie, a T po drugiej. Wtedy:
\(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T}\)
dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ XT^2}\)
otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2} = X' = k - const}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18136
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3061 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: a4karo » 24 maja 2019, o 21:29

I teraz robisz błąd, bo piszesz \(\displaystyle{ \frac{dT}{dx}=T^2}\), a ten prim oznacza akurat różniczkowanie po \(\displaystyle{ t}\)

Nie zastanowiło Cię, że otrzymany przez Ciebie wynik nie zależy od zmiennej \(\displaystyle{ t}\)?????

Dariomario
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lut 2019, o 09:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: Dariomario » 24 maja 2019, o 21:42

Okay, zauważyłem, fakt:
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2} = k \\ T' = kT^2 \\ \frac{dT}{dt} = kT^2 \\ \frac{dT}{T^2} = kdt \\ - \frac{1}{T} + C_1 = kt \\ T = - \frac{1}{kt} + \frac{1}{C_1}}\)


rozwiązując drugą część równania:
\(\displaystyle{ X' = k \\ \frac{dX}{dx} = k \\ dX = kdx \\ X = kx + C_2 \\ X(x) = kx + C_2}\)

wstawiając do równania, mogę \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zapisać jako \(\displaystyle{ C}\)?:
\(\displaystyle{ U(x,t) = - \frac{1}{kt} \cdot kx + C = - \frac{kx}{kt}+C = - \frac{x}{t}+C}\)

Jest ok?
Ostatnio zmieniony 24 maja 2019, o 22:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18136
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3061 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: a4karo » 24 maja 2019, o 22:46

Po pierwsze z \(\displaystyle{ - \frac{1}{T} + C_1 = kt}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ T = - \frac{1}{kt} + \frac{1}{C_1}}\)

Po drugie: niepoprawnie pomnożyłeś \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ T}\)

Dariomario
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lut 2019, o 09:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Re: Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

Post autor: Dariomario » 24 maja 2019, o 22:58

\(\displaystyle{ - \frac{1}{T} = kt - C_1 / ^{-1} \\ -T = \frac{1}{kt-C_1} / \cdot \left( -1 \right) \\ T = - \frac{1}{kt-C_1}}\)

\(\displaystyle{ X \cdot T = \left( kx + C_2 \right) \cdot \left( - \frac{1}{kt-C_1} \right) = - \frac{kx+C_2}{kt-C_1}}\)

Jeśli popełniłem teraz gdzieś błąd, proszę o wskazanie :/
Ostatnio zmieniony 25 maja 2019, o 00:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ