Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Monikasm98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 27 gru 2017, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: Monikasm98 » 18 maja 2019, o 15:16

Hej, czy potrafiłby ktoś pomóc z wyznaczeniem wzoru na \(n\)-tą iteracje Picarda i policzeniem jej granicy dla problemu \(y'=x+y\) i \(y(0)=1\). Potrafię policzyć te iteracje, ale nie mam pojęcia jak będzie wyglądać wzór i jak policzyć wtedy granicę.
Ostatnio zmieniony 18 maja 2019, o 19:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: matmatmm » 18 maja 2019, o 16:40

Monikasm98 pisze:Potrafię policzyć te iteracje ale
nie mam pojęcia jak będzie wyglądać wzór
Pokaż co ci wychodzi. Musisz zauważyć pewną zależność, żeby sformułować wzór ogólny na \(n\)-tą iterację (i ewentualnie udowodnić go indukcyjnie)

Monikasm98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 27 gru 2017, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: Monikasm98 » 19 maja 2019, o 12:57

Wychodzi coś takiego
\(y_{0}=1, y_{1}=1+x+ \frac{1}{2}x ^{2}, y _{2} =1+x+x^{2}+ \frac{1}{6} x ^{3}, y_{3} =1+x+x^2+ \frac{1}{3} x _{3} + \frac{1}{24} x ^{4}\)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Re: Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: matmatmm » 19 maja 2019, o 13:18

Oke. Podpowiem ci wzór ogólny:

\(y_n(x)=1+x+\sum_{k=2}^n\frac{2x^k}{k!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\)

Monikasm98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 27 gru 2017, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: Monikasm98 » 19 maja 2019, o 13:51

Dziękuję bardzo! A teraz jak mam obliczyć granice tej n-tej iteracje to jak to powinnam zrobić?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Re: Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: matmatmm » 19 maja 2019, o 15:05

A wiesz ile wynosi \(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\) ?

Monikasm98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 27 gru 2017, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Re: Iteracja Picarda i problem Cauchyego

Post autor: Monikasm98 » 31 maja 2019, o 19:54

\(e^x\), dziękuję

ODPOWIEDZ