Dystrybuanta zmiennej X

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2380
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Dystrybuanta zmiennej X

Post autor: max123321 » 16 maja 2019, o 01:25

Dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest równa:
\(\displaystyle{ F(t)= \begin{cases} 1- \frac{1}{8(t+1)} \text{ dla } t \ge -1/2 \\ 0 \text{ dla } t<-1/2 \end{cases}}\)

Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y= \frac{2}{(X+1)^3}}\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

\(\displaystyle{ P(Y<t)=P( \frac{2}{(X+1)^3}<t)}\)
Rozpatrzmy najpierw
\(\displaystyle{ x \ge -1/2 \wedge t>0}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ P( \sqrt[3]{ \frac{2}{t} }-1<X)=1-P\left( X \le \sqrt[3]{ \frac{2}{t} }-1 \right)}\)
Widać, że dla \(\displaystyle{ t > 16}\) zachodzi
\(\displaystyle{ 1-P(X \le \sqrt[3]{ \frac{2}{t} }-1)=1}\) zgodnie z dystrybuantą \(\displaystyle{ X}\).
Jeśli \(\displaystyle{ X \ge -1/2 \wedge t<0}\) to
\(\displaystyle{ P( \frac{2}{(X+1)^3}<t)=P( \sqrt[3]{ \frac{2}{t} }-1>X)=P(-1>X)=0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x \ge -1/2 \wedge t \in (0,16)}\) to
\(\displaystyle{ P(Y<t)=1-P(X \le \sqrt[3]{ \frac{2}{t} }-1)=1-(1- \frac{1}{8( \sqrt[3]{ \frac{2}{t} }-1+1) })= \frac{ \sqrt[3]{t} }{8 \sqrt[3]{2} }}\).
Czyli \(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t<0 \\ \frac{ \sqrt[3]{t} }{8 \sqrt[3]{2} } \text{ dla } t \in (0,16) \\ 1 \text{ dla } t>16 \end{cases}}\)
Czy tak jest dobrze?
Nie wiem jak będzie w punktach \(\displaystyle{ t=0}\) i \(\displaystyle{ t=16}\), ale to jeszcze nic. Nie wiem jak będzie w przypadku gdy \(\displaystyle{ X<-1/2}\). Czy ten przypadek należy rozpatrywać? Bo przecież dla \(\displaystyle{ P(-1<X<-1/2)=0}\) , a to jest równoważne \(\displaystyle{ P(16< \frac{2}{(X+1)^3})}\), a to się równa \(\displaystyle{ P(Y>16)=1}\). Sprzeczność. Gdzie robię błąd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ