Tożsamość dla trójkąta

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6008
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2502 razy
Pomógł: 666 razy

Tożsamość dla trójkąta

Post autor: mol_ksiazkowy » 14 maja 2019, o 14:41

Udowodnić, że w trójkącie:
\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sin(\beta - \gamma)}{\sin( \alpha )}+ \frac{b^2 \sin( \gamma - \alpha )}{\sin( \beta )}+ \frac{c^2 \sin( \alpha - \beta )}{\sin( \gamma )}=0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1528
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 430 razy

Re: Tożsamość dla trójkąta

Post autor: timon92 » 14 maja 2019, o 15:06

z twierdzenia sinusów \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R}\), więc wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ 4R^2}\) i w nawiasie zostaje \(\displaystyle{ \sin\alpha\sin(\beta-\gamma)+\sin\beta\sin(\gamma-\alpha)+\sin\gamma\sin(\alpha-\beta)}\), a to jest zero co widać po rozpisaniu \(\displaystyle{ \sin(\beta-\gamma)=\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma}\) itd.

ODPOWIEDZ