Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth » 14 maja 2019, o 10:55

Załóżmy, że funkcje \(\displaystyle{ f, \ g}\) mają funkcje pierwotne na pewnym przedziale. Czy z tego wynika, że funkcja \(\displaystyle{ f \cdot g}\) ma funkcję pierwotną na tym przedziale?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26434
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4423 razy

Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 14 maja 2019, o 11:14

TorrhenMathMeth pisze:Bo rozumiem, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) dla liczb ujemnych nie ma funkcji pierwotnej?
A skąd ten odważny wniosek?

JK

TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth » 14 maja 2019, o 11:19

Wycofałem się z tego. Chwila zaćmienia to spowodowała

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6726
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: mariuszm » 14 maja 2019, o 21:29

Jan Kraszewski, pewnie zapomniał o module
pamiętając o dziedzinie

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1865
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 264 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm » 15 maja 2019, o 02:02

Mam pewną propozycję na kontrprzykład do tego zadania, ale nie potrafię dociągnąć dowodu do końca i nie jestem pewien, czy faktycznie jest to dobry kontrprzykład. Może ktoś mądrzejszy da radę.

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\left| \sin\left( \frac{1}{x^2}\right)\right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Niech \(\displaystyle{ F_1, F_2}\) oznaczają pewne funkcje pierwotne do funkcji \(\displaystyle{ f}\) odpowiednio na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,\infty)}\). Potrafię udowodnić, że \(\displaystyle{ F_1}\) ma granicę prawostronną w zerze, a \(\displaystyle{ F_2}\) ma granicę lewostronną w zerze. Można więc "skleić" te funkcje i uzupełnić wartość w zerze tzn. istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ F:\RR\rightarrow\RR}\) taka, że \(\displaystyle{ \left( F|_{(-\infty,0)}\right)'=f |_{(-\infty,0)}}\) oraz \(\displaystyle{ \left( F|_{(0,\infty)}\right)'=f |_{(0,\infty)}}\). Jedyne, czego nie potrafię udowodnić i nie jestem pewien że to prawda, to że \(\displaystyle{ F}\) jest różniczkowalna w zerze.

Analogicznie definiuję \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\left| \cos\left( \frac{1}{x^2}\right)\right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i wydaje mi się, że można tu zastosować podobną procedurę, chociaż tego akurat nie przeliczyłem.

Funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) można rozszerzyć przyjmując w zerze wartości pochodnych (o ile faktycznie te funkcje pierwotne są różniczkowalne w zerze). Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f\cdot g}\) ma wzór \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i niezależnie od wartości w zerze potrafię udowodnić, że nie ma ona funkcji pierwotnej.

TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth » 15 maja 2019, o 14:11

matmatmm pisze:Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f\cdot g}\) ma wzór \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i niezależnie od wartości w zerze potrafię udowodnić, że nie ma ona funkcji pierwotnej.
Hmmm, no dobrze, ale ta funkcja jest ciągła na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z wyjątkiem skończonej ilości punktów, a dokładnie z wyjątkiem 0, zresztą nawet nie jest tam określona. Skoro zatem jest ciągła to na pewno ma funkcję pierwotną.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1865
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 264 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm » 15 maja 2019, o 15:54

Przeczytaj uważnie. Ja tę funkcję rozszerzam na całe \(\displaystyle{ \RR}\) tzn. określam dodatkowo wartość w zerze. Po takim rozszerzeniu nie jest ciągła w zerze i nie ma funkcji pierwotnej.

TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth » 15 maja 2019, o 16:16

Dlaczego? Jak to pokazać?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1865
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 264 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm » 15 maja 2019, o 16:31

Trzeba pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim_{u\to 0^{+}}\int\limits_u^1\left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| \dd x=+\infty}\)

TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth » 17 maja 2019, o 13:15

A to z kolei czemu udowadnia brak funkcji pierwotnej? Wybacz że nie wierzę na słowo ale nauczyłem się poddawać w wątpliwość takie rzeczy.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1865
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 264 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm » 17 maja 2019, o 13:50

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ G}\) funkcję pierwotną do \(\displaystyle{ x\mapsto \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right|}\) na zbiorze \(\displaystyle{ (0,1]}\) (istnieje bo ta funkcja jest ciągła).

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f\cdot g}\) (uzupełniona o wartość w zerze, czyli określona na całym \(\displaystyle{ \RR}\)) ma funkcję pierwotną \(\displaystyle{ H}\). Wówczas

\(\displaystyle{ H|_{(0,1]}=G +c}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c\in\RR}\). Dalej mamy


\(\displaystyle{ +\infty=\lim_{u\to 0^{+}}\int\limits_u^1\left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| \dd x=\lim_{u\to 0^{+}}\left( G(1)-G(u)\right)=\lim_{u\to 0^{+}}\left( H(1)-H(u)\right)=H(1)-\lim_{u\to 0^{+}}H(u)}\)

Jest to sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ H}\) jest ciągła w zerze.

ODPOWIEDZ