Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
suchy1111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 12 maja 2019, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: suchy1111 » 13 maja 2019, o 21:54

Cześć, w temacie 440772.htm rozwiązywałem równanie rekurencyjne.
Wynikiem tego równania było:
\(\displaystyle{ G(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(5\cdot 4^n-5\cdot 3^n)x^n}\) dla \(\displaystyle{ |x|<\frac 1 4}\)
Wiem że wynikiem zadania będzie odpowiedź \(\displaystyle{ T(n) = 5\cdot 4^n-5\cdot 3^n}\) Ale zastanawiam się jak do tego dojść, jakie jest twierdzenie matematyczne które rozwiązuje to równanie tworzącej w postać zwartą? Znalazłem że korzysta się z rozwinięcia równania tworzącej w szereg potęgowy. Natomiast słyszałem o coś o wielomianach nieskończonych które tworzą sumę szeregów i dlatego można jakoś je tak przedstawić. Zdaje sobie sprawę z tego że to o czym słyszałem mogłem źle zapamiętać albo zrozumieć, dlatego proszę o pomoc. Jak się dzieje że z rozwinięcia równania tworzącej mogę znaleźć postać zwartą.
Ostatnio zmieniony 13 maja 2019, o 22:29 przez suchy1111, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: Benny01 » 13 maja 2019, o 22:12

Funkcja tworząca to nic innego jak \(\displaystyle{ G(x)= \sum_{k=1}^{ \infty } a_nx^n}\)
Jak sobie przyrównasz te szeregi to otrzymasz wzór na \(\displaystyle{ a_n}\). Chyba, że nie zrozumiałem Twojego pytania.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14878
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 122 razy
Pomógł: 4927 razy

Re: Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: Premislav » 13 maja 2019, o 22:15

To wynika z definicji funkcji tworzącej (funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (a_n)_{n=0}^{\infty}}\) jest \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n}\)) i z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy wokół ustalonego punktu (tutaj wokół zera). Tj. jeśli w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0}\) są określone zbieżne szeregi potęgowe \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n, \ \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n}\) i w tymże otoczeniu zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n= \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n}\), to \(\displaystyle{ (\forall n\in \NN)a_n=b_n}\)
Można to udowodnić, różniczkując odpowiednio wiele razy (szeregi potęgowe wewnątrz przedziału zbieżności różniczkuje się wyraz po wyrazie) i wstawiając \(\displaystyle{ x:=x_0}\).

suchy1111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 12 maja 2019, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: suchy1111 » 13 maja 2019, o 22:31

Dziękuje Premislav, jeszcze raz za pomoc

ODPOWIEDZ