Pole ograniczone krzywą

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 7 razy

Pole ograniczone krzywą

Post autor: math196 » 13 maja 2019, o 20:23

Obliczyłem pole ograniczone krzywą \(\displaystyle{ |x|^a+|y|^a=1}\) w granicach od 0 do 1 i nie wiem czy wynik jest poprawny. Obliczyłem pole ćwiartki ze względu na symetrię. Obliczając całkę najpierw sprowadzając do funkcji beta a potem do funkcji gamma wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2a} \frac{\Gamma^2(1/a)}{\Gamma(2/a)}}\) i nie wiem czy wynik jest poprawny i czy trzeba jeszcze to pomnożyć przez 4 ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18155
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3063 razy

Re: Pole ograniczone krzywą

Post autor: a4karo » 13 maja 2019, o 23:05

Sprawdź dla \(\displaystyle{ a=2}\) czy otrzymujesz pole kołą, czy też jego części.

math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 7 razy

Re: Pole ograniczone krzywą

Post autor: math196 » 14 maja 2019, o 09:11

a4karo, Wychodzi \(\displaystyle{ \pi/4}\).A mie powinno wyjść \(\displaystyle{ \pi}\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18155
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3063 razy

Re: Pole ograniczone krzywą

Post autor: a4karo » 14 maja 2019, o 14:10

Nie wiem co powinno być, bo nie wiem co liczyłeś. Sformułowanie: w granicach od 0 do 1 jest mało precyzyjne

math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 7 razy

Re: Pole ograniczone krzywą

Post autor: math196 » 15 maja 2019, o 08:48

a4karo, Liczyłem pole ograniczone krzywą \(\displaystyle{ |x|^a+|y|^a=1}\). Z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ y=(1-x^a)^{1/a}}\) .Ze względu na symetrię liczę pole tylko względem jednej ćwiartki więc w granicach od 0 do 1. Obliczając całkę najpierw sprowadzając do funkcji beta a potem do funkcji gamma wyszedł mi wynik, który podałem wyżej. I czy ten wynik mam pomnożyć jeszcze przez 4 ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18155
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3063 razy

Re: Pole ograniczone krzywą

Post autor: a4karo » 15 maja 2019, o 10:32

Tak

ODPOWIEDZ