Zmienna losowa X

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zmienna losowa X

Post autor: max123321 » 12 maja 2019, o 21:48

Zmienna losowa \(X\) ma rozkład z gęstością \(g(x)= \frac{1}{2}1_{\left[ -1,0\right]}+ \frac{1}{4}1_{(0,2]}(x)\). Obliczyć \(\PP (2X^2 \ge X+1)\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\PP (2X^2 \ge X+1)=\PP (2X^2-X-1 \ge 0)=\PP (2(X+1/2)(X-1) \ge 0)=\)
\(=\PP (X+1/2 \ge 0 \wedge X-1 \ge 0 \vee X+1/2 \le 0 \wedge X-1 \le 0)=\)
\(=\PP (X \ge -1/2 \wedge X \ge 1 \vee X \le -1/2 \wedge X \le 1)=\PP (X \ge 1)+\PP (X \le -1/2)\)

No i liczę dystrybuantę:
\(F(x)= \int_{-\infty}^{x}g(s)ds= \begin{cases} 0 &\text{ dla } x<-1 \\ \int_{-1}^{x} \frac{1}{2}ds= \frac{1}{2}(x+1) &\text{ dla } -1 \le x<0 \\ \frac{1}{2}+ \int_{0}^{x} \frac{1}{4} ds = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}x &\text{ dla } 0 \le x<2 \\ 1 &\text{ dla } 2 \le x \end{cases}\)

Czyli to prawdopodobieństwo, które pytają wynosi:
\(\PP (X \ge 1)+\PP (X \le -1/2)=1-F(1)+F(-1/2)=1-3/4+1/4= \frac{1}{2}\)

Czy tak jest dobrze?
Ostatnio zmieniony 12 maja 2019, o 22:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zmienna losowa X

Post autor: Premislav » 13 maja 2019, o 01:25

Tak.

ODPOWIEDZ