Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru m
: 12 maja 2019, o 20:29
Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru \(\displaystyle{ m}\).
\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0}\).
Zał:
\(\displaystyle{ x-2>0}\) więc \(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ x-m \ge 0}\) więc \(\displaystyle{ x \ge m}\)
1) \(\displaystyle{ m \le 2}\) Wówczas: \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\)
2) \(\displaystyle{ m > 2}\) Wówczas: \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
Po przyrównaniu do zera pierwszego czynnika \(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ x=11}\).
W związku z tym, że pierwszy czynnik zeruje się dla \(\displaystyle{ x=11}\) badamy ilość rozwiązań dla\(\displaystyle{ m}\) należącego do następujących przedziałów:
a) \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle}\)
b) \(\displaystyle{ m \in ( 2 ,11 )}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \langle 11 , \infty )}\)
ad a)
\(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle}\) Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-m} =0}\)
\(\displaystyle{ x=m}\) i \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\) więc \(\displaystyle{ m}\) nie rozwiązuje tego równania. Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x =11}\).
ad b)\(\displaystyle{ m \in (2,11)}\)Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x =11}\) i \(\displaystyle{ x=m}\)
ad c) \(\displaystyle{ m \in \langle 11 , \infty )}\) Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
c') rozpatrzmy równanie dla \(\displaystyle{ m=11}\)
Pierwszy i drugi czynnik zeruje się dla \(\displaystyle{ x= 11}\). Czyli mamy jedno rozwiązanie.
c'') rozpatrzmy równanie dla \(\displaystyle{ m \in (11, \infty )}\)
Wówczas rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x=m}\).
Reasumując dla \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle \cup \langle 11 , \infty )}\) mamy jedno rozwiązanie, a dla \(\displaystyle{ m \in ( 2 ,11 )}\) mamy dwa rozwiązania.
Czy moje rozwiązanie jest poprawne i czy da się je zapisać prościej?
\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0}\).
Zał:
\(\displaystyle{ x-2>0}\) więc \(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ x-m \ge 0}\) więc \(\displaystyle{ x \ge m}\)
1) \(\displaystyle{ m \le 2}\) Wówczas: \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\)
2) \(\displaystyle{ m > 2}\) Wówczas: \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
Po przyrównaniu do zera pierwszego czynnika \(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ x=11}\).
W związku z tym, że pierwszy czynnik zeruje się dla \(\displaystyle{ x=11}\) badamy ilość rozwiązań dla\(\displaystyle{ m}\) należącego do następujących przedziałów:
a) \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle}\)
b) \(\displaystyle{ m \in ( 2 ,11 )}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \langle 11 , \infty )}\)
ad a)
\(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle}\) Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-m} =0}\)
\(\displaystyle{ x=m}\) i \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\) więc \(\displaystyle{ m}\) nie rozwiązuje tego równania. Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x =11}\).
ad b)\(\displaystyle{ m \in (2,11)}\)Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x =11}\) i \(\displaystyle{ x=m}\)
ad c) \(\displaystyle{ m \in \langle 11 , \infty )}\) Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
c') rozpatrzmy równanie dla \(\displaystyle{ m=11}\)
Pierwszy i drugi czynnik zeruje się dla \(\displaystyle{ x= 11}\). Czyli mamy jedno rozwiązanie.
c'') rozpatrzmy równanie dla \(\displaystyle{ m \in (11, \infty )}\)
Wówczas rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x=m}\).
Reasumując dla \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle \cup \langle 11 , \infty )}\) mamy jedno rozwiązanie, a dla \(\displaystyle{ m \in ( 2 ,11 )}\) mamy dwa rozwiązania.
Czy moje rozwiązanie jest poprawne i czy da się je zapisać prościej?