Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem:
Sprawdź czy odwzorowanie jest zwężające korzystając z twierdzenia o wartości średniej:
\(\displaystyle{ f:[0,1]\rightarrow[0,1], f(x)=\frac{1}{3}x^2}\)
W zeszycie mam zapisane, że wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\). Wtedy odwzorowanie jest zwężające. Więc wziąłem \(\displaystyle{ c=\frac{1}{2}}\) i wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), czyli odwzorowanie jest zwężające. Czy to jest dobre rozwiązanie? Jak można ewentualnie lepiej zapisać rozwiązanie.

Należy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\) dla każdego \(\displaystyle{ c\in (0,1)}\)

matmatmm pisze:Należy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\) dla każdego \(\displaystyle{ c\in (0,1)}\)

Jak to zrobić bo nie bardzo umiem

Te zadania to właściwie analiza funkcjonalna (fakt że nie jakieś super zadanka, raczej totalne podstawy), a sprawdzenie tego, co napisał matmatmm, to poziom szkoły średniej. Należy sobie zadać bardzo ważne pytanie: jak dotarłeś tutaj, gdzie jesteś?

Dziwi mnie sam fakt, że w poleceniu jest przykazane, żeby zastosować twierdzenie Lagrange'a. Przecież to zadanie można wzorami skróconego mnożenia zrobić. Realizacja jest na poziomie liceum, jak Premislav napisał. No ale jakbyś już się uparł na tego Lagrange'a, to tak:

Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.

MrCommando pisze:Dziwi mnie sam fakt, że w poleceniu jest przykazane, żeby zastosować twierdzenie Lagrange'a. Przecież to zadanie można wzorami skróconego mnożenia zrobić. Realizacja jest na poziomie liceum, jak Premislav napisał. No ale jakbyś już się uparł na tego Lagrange'a, to tak:

Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.

Dziękuję za pomoc, wiem to zadanie można zrobić wzorami, ale wzory skróconego mnożenia działają tylko dla funkcji kwadratowej, a słyszałem, że Tw. Lagrange'a jest uogólnieniem.

Dejvid96 pisze:W zeszycie mam zapisane, że wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\).

To nie wystarczy, żeby odwzorowanie było zwężające. Powinno być: istnieje stała \(\displaystyle{ L in [0, 1)}\), taka że \(\displaystyle{ |f'(c)| \le L}\) dla każdego \(\displaystyle{ c \in (0, 1)}\).