Funkcjonał liniowy-norma

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Funkcjonał liniowy-norma

Post autor: Dejvid96 » 11 maja 2019, o 13:30

Znajdź normę funkcjonału liniowego:
\(\displaystyle{ f:l^p\rightarrow\mathbb{R},p>1, f(x_1,x_2,x_3,...)=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{8}x_3+...}\)
\(\displaystyle{ |f(x_1,x_2,x_3,...)|=\left| \frac{1}{2}x_1+\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{8}x_3+...\right| \le \left| \frac{1}{2}x_1\right| +\left| \frac{1}{4}x_2\right| +\left| \frac{1}{8}x_3\right|+...=\sum_{n=1}^\infty\left| \frac{1}{2^n}x_n\right| \le\Big(\sum_{n=1}^\infty|x_n|^p\Big)^{\frac{1}{p}}\Big(\sum_{n=1}^\infty\left| \frac{1}{2^n}\right| ^q\Big)^{\frac{1}{q}}}\)
Czy to jest najbardziej optymalnie zrobione zadanie? Chodzi mi głównie o stałą Lipschitza
Ostatnio zmieniony 11 maja 2019, o 13:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14925
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4941 razy

Re: Funkcjonał liniowy-norma

Post autor: Premislav » 11 maja 2019, o 14:24

Tak. Wystarczy wskazać ciąg z \(\displaystyle{ \ell^p}\), dla którego zachodzi równość w obu tych nierównościach, zdaje się działa po prostu \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2^n}}\)

BTW przysłówek „optymalnie" nie ma stopniowania, jeśli coś jest optymalne, to nie można tego poprawić.

ODPOWIEDZ