Matematyka.pl

Zbadaj ciągłość odwzorowań \(\displaystyle{ F:C[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}\), w \(\displaystyle{ C[0,1]}\) mamy normę supremum.
\(\displaystyle{ F(u)=u(1)}\)
\(\displaystyle{ F(u)=\int_0^1u(t)dt}\)
\(\displaystyle{ F(u)=\int_0^1t^2u(t)dt}\)
\(\displaystyle{ F(u)=\int_0^1u^2(t)dt}\)
Dodatkowo dla pierwszego odwzorowania sprawdzić ciągłość gdy przyjmiemy normę całkową w \(\displaystyle{ C[0,1]}\).

Spróbuj coś sam. Pomożemy jak będziesz miał kłopot

a4karo pisze:Spróbuj coś sam. Pomożemy jak będziesz miał kłopot

Dla przykładu pierwszego mam coś takiego:
\(\displaystyle{ |F(x)-F(y)|=|x(1)-y(1)|=|(x-y)(1)|\le \sup _{t\in[0,1]}|(x-y)(t)|\le\\ \le 1\cdot\sup _{t\in[0,1]}|(x-y)(t)|=1\cdot ||x-y||_\infty}\)


\(\displaystyle{ |F(x)-F(y)|=\Big|\int_0^1x(t)dt-\int_0^1y(t)dt\Big=\Big|\int_0^1(x-y)(t)dt\Big|\le\int_0^1|(x-y)(t)|dt\le\\ \le \sup _{t\in[0,1]}\int_0^1|(x-y)(t)|dt=\int_0^1\sup _{t\in[0,1]}|(x-y)(t)|dt\le\int_0^1|x-y|_\infty=||x-y||_\infty}\)

Pierwsze ok
W drugim trochę zamotales z supremum - całka nie zależy od \(\displaystyle{ t}\). Popraw to

a4karo pisze:Pierwsze ok

Jak będzie wyglądać pierwszy przykład dla normy całkowej?

Dejvid96 pisze:

a4karo pisze:Pierwsze ok

Jak będzie wyglądać pierwszy przykład dla normy całkowej?

Kontrprzykładu poszukaj.