Witam wszystkich,
Czy wiecie jak można to ugryźć? Próbowałam obliczyć to korzystając z rozkładu na ułamki proste, ale jet to dość skomlikowane. Czy jest inny sposób, żeby to obliczyć?
\(\displaystyle{ x'(t)=rx(t)\left( x(t)-N\right)\left( 1-\frac{x(t)}{K}\right)}\)
Równanie różniczkowe
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równanie różniczkowe
Niestety raczej nie unikniesz tu rozkładu na ułamki proste i powiedziałbym, że w takim przypadku, jak tutaj, to nie jest on skomplikowany, można go wykonać nawet bez żadnych tam układów równań (choć wcale niekoniecznie tak jest szybciej):
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(t)(x(t)-N)\left( 1-\frac{x(t)}{K}\right)}=\\=-\frac{K}{x(t)(x(t)-N)(x(t)-K)}=\\=- \frac{x(t)-\left( x(t)-K\right) }{x(t)(x(t)-N)(x(t)-K)}=\\=-\frac{1}{(x(t)-N)(x(t)-K)}+\frac{1}{x(t)(x(t)-N)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{K-n}{(x(t)-N)(x(t)-K)}+\frac 1 N\cdot \frac{N}{x(t)(x(t)-N)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{(x(t)-N)-(x(t)-K)}{(x(t)-N)(x(t)-K)}+\frac 1 N\cdot \frac{x(t)-(x(t)-N)}{x(t)(x(t)-N)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{1}{x(t)-K}-\frac{1}{N-K}\cdot \frac{1}{x(t)-N}+\frac{1}{N}\cdot \frac{1}{x(t)-N}-\frac 1 N\cdot \frac 1 {x(t)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{1}{x(t)-K}-\frac{K}{N^2-NK}\cdot \frac{1}{x(t)-N}-\frac 1 N\cdot \frac 1{x(t)}}\)
i każdy taki ułamek już bardzo łatwo scałkować, \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x'(t)}{x(t)-N}\,\dd t=\ln|x(t)-N|+C}\) i tak dalej. Aha, trzeba tylko uważać na szczególne przypadki, gdy \(\displaystyle{ K=N}\) lub \(\displaystyle{ N=0}\), bo wtedy wygląda to inaczej (np. gdy \(\displaystyle{ N=0,}\) nie mogę sobie podzielić i˙pomnożyć przez \(\displaystyle{ N}\)).-- 10 maja 2019, o 09:15 --Chociaż Kachna mać, jak ktoś to scałkuje, to chyba musi uznać to za rozwiązanie w postaci uwikłanej i˙przejść nad tym do porządku dziennego albo użyć wzorów Cardana (równanie sześcienne), których nigdy nie miałem na żadnym przedmiocie matematycznym.
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(t)(x(t)-N)\left( 1-\frac{x(t)}{K}\right)}=\\=-\frac{K}{x(t)(x(t)-N)(x(t)-K)}=\\=- \frac{x(t)-\left( x(t)-K\right) }{x(t)(x(t)-N)(x(t)-K)}=\\=-\frac{1}{(x(t)-N)(x(t)-K)}+\frac{1}{x(t)(x(t)-N)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{K-n}{(x(t)-N)(x(t)-K)}+\frac 1 N\cdot \frac{N}{x(t)(x(t)-N)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{(x(t)-N)-(x(t)-K)}{(x(t)-N)(x(t)-K)}+\frac 1 N\cdot \frac{x(t)-(x(t)-N)}{x(t)(x(t)-N)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{1}{x(t)-K}-\frac{1}{N-K}\cdot \frac{1}{x(t)-N}+\frac{1}{N}\cdot \frac{1}{x(t)-N}-\frac 1 N\cdot \frac 1 {x(t)}=\\=\frac{1}{N-K}\cdot \frac{1}{x(t)-K}-\frac{K}{N^2-NK}\cdot \frac{1}{x(t)-N}-\frac 1 N\cdot \frac 1{x(t)}}\)
i każdy taki ułamek już bardzo łatwo scałkować, \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x'(t)}{x(t)-N}\,\dd t=\ln|x(t)-N|+C}\) i tak dalej. Aha, trzeba tylko uważać na szczególne przypadki, gdy \(\displaystyle{ K=N}\) lub \(\displaystyle{ N=0}\), bo wtedy wygląda to inaczej (np. gdy \(\displaystyle{ N=0,}\) nie mogę sobie podzielić i˙pomnożyć przez \(\displaystyle{ N}\)).-- 10 maja 2019, o 09:15 --Chociaż Kachna mać, jak ktoś to scałkuje, to chyba musi uznać to za rozwiązanie w postaci uwikłanej i˙przejść nad tym do porządku dziennego albo użyć wzorów Cardana (równanie sześcienne), których nigdy nie miałem na żadnym przedmiocie matematycznym.