Matematyka.pl

Jak rozwiązać takie równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ y-y'x=a \frac{y'}{ \sqrt{1+(y')^{2}} }}\)

Jakaś metoda?

Patrz „równanie Clairauta". Zróżniczkujmy to równanie stronami po \(\displaystyle{ x}\). Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y'-y'-y'' x= a\frac{y''\sqrt{1+(y')^2}-\frac{(y' )^2y''}{\sqrt{1+(y')^2}}}{1+(y')^2}\ -y'' x=a\cdot \frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac 3 2}}}\)
Stąd (choć to trochę śliskie, bo można się zastanawiać, czy można skleić na różnych przedziałach rozwiązania z tych przypadków tak, aby były dwukrotnie różniczkowalne; to jednak przerasta na tę chwilę moje umiejętności)
\(\displaystyle{ y''=0 \vee -x=\frac{a}{(1+(y')^2)^{\frac 3 2}}}\)
Pierwszy przypadek prowadzi do \(\displaystyle{ y=C_1 x+C_2}\), zajmiemy się teraz drugim:
\(\displaystyle{ -x=\frac{a}{(1+(y')^2)^{\frac 3 2}}\left( 1+(y')^2
\right)^{\frac 3 2}=-\frac a x\y'(x)=\pm \sqrt{\left( -\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}}\)
Teraz całkujemy stronami. Trzeba by, po podstawieniu \(\displaystyle{ x=-at}\), wyznaczyć całkę
\(\displaystyle{ -a\int_{}^{} \sqrt{t^{-\frac 2 3}-1 }\,\dd t}\)
Wybacz, ale nie mam ochoty obliczać tej całki (patrz całkowanie różniczki dwumiennej: 33970.htm),
wolfram „powiedział" mi, że jest ona równa
\(\displaystyle{ -a \sqrt{t^{-\frac 2 3}-1} \left( t-t^{\frac 1 3}
\right) +C}\), a więc po powrocie do zmiennej \(\displaystyle{ x}\) mamy
\(\displaystyle{ y=\mp a\sqrt{\left(-\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}\left( -\frac x a-\left( -\frac x a
\right)^{\frac 1 3}
\right)
\right)+C}\)

Na koniec trzeba jeszcze wykonać sprawdzenie, podstawiając otrzymane potencjalne rozwiązania do pierwotnego równania.
1) sprawdzamy, które funkcje postaci \(\displaystyle{ y=C_1 x+C_2}\) są rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ y-y'x=a \frac{y'}{ \sqrt{1+(y')^{2}} }}\)
Podstawiając do tego równania \(\displaystyle{ y=C_1 x+C_2}\), mamy
\(\displaystyle{ C_2= \frac{aC_1}{ \sqrt{1+C_1^2}}}\), czyli w tym przypadku pasują funkcje postaci
\(\displaystyle{ y=C_1 x+\frac{a C_1}{\sqrt{1+C_1^2}}, C_1\in \RR}\)

2) sprawdzamy, które funkcje postaci
\(\displaystyle{ y=\mp a\sqrt{\left(-\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}\left( -\frac x a-\left( -\frac x a
\right)^{\frac 1 3}
\right)
\right)+C}\)
są rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ y-y'x=a \frac{y'}{ \sqrt{1+(y')^{2}} }}\)
To już Ci zostawiam, ponieważ pewnie i tak pomyliłbym się w obliczeniach, warto od razu korzystać tu z wcześniej uzyskanego w tym przypadku \(\displaystyle{ y'(x)=\pm\sqrt{\left( -\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}}\), zamiast różniczkować to szkaradzieństwo.