czy istnieje dokladnie jedno rozwiazanie rownania

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
nnklaudia_1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 22 mar 2019, o 13:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wrocław

czy istnieje dokladnie jedno rozwiazanie rownania

Post autor: nnklaudia_1234 » 9 maja 2019, o 18:38

Udowodnić, że następujące równanie z niewiadomą funkcją u ma dokładnie jedno rozwiązanie.
\(u(t)=\cos (t) + \int_{0}^{t} 0.4 \cdot \sin (t+s)u(s)ds ~dla~ u \in C[0,1]\)
Wiem, że należy skorzystać z tw.Banacha o odwz.zwężającym, ustalić operator \(F(u)(t)=u(t)=\cos (t) + \int_{0}^{t} 0.4 \cdot \sin (t+s)u(s)ds\) oraz normę. Jaką normę należy wybrać w tym przypadku i dlaczego?
Ostatnio zmieniony 9 maja 2019, o 19:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: czy istnieje dokladnie jedno rozwiazanie rownania

Post autor: Dasio11 » 9 maja 2019, o 19:38

Normę supremum, bo dla takiej odwzorowanie \(F\) będzie zwężające.

Niech \(u, v \in C[0, 1]\). Dla każdego \(t \in [0, 1]\) mamy

\($ \begin{align*} | F(u)(t) - F(v)(t) | & = \left| \int \limits_0^t 0.4 \sin(t+s) u(s) \, \dd s - \int \limits_0^t 0.4 \sin(t+s) v(s) \, \dd s \right| \\ & = 0.4 \left| \int \limits_0^t \sin(t+s) \big( u(s) - v(s) \big) \, \dd s \right| \\ & \le 0.4 \int \limits_0^t | \sin(t+s) | \cdot |u(s) - v(s)| \, \dd s \le 0.4 \cdot t \cdot 1 \cdot \| u - v \|_{\infty} \le 0.4 \| u - v \|_{\infty} \end{align*} $\)

zatem \(\| F(u) - F(v) \|_{\infty} \le 0.4 \| u - v \|_{\infty}\).

ODPOWIEDZ