Matematyka.pl

Mam problem z takim rówaniem:

\(\displaystyle{ 2(\sqrt{2} - 1)^{3x}+5(\sqrt{2} - 1)^{2x} = 1}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Rozwiązanie:

Ten zapis jest równoważny zapisowi:

\(\displaystyle{ 2((\sqrt{2}-1)^x)^3+5((\sqrt{2}-1))^x)^2-1=0}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ t=(\sqrt{2}-1)^x}\)

Uzyskujemy:

\(\displaystyle{ W(t)=2t^3+5t^2-1=0}\)

Widzimy, że \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc ten wielomian podzieli się przez \(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})}\).

W wyniku dzielenia otrzymamy:

\(\displaystyle{ W(t)=(t+\frac{1}{2})(2t^2+4t-2)=0}\)

Następnie otrzymujemy łącznie 3 rozwiązania (liczymy deltę i pierwiastki):

\(\displaystyle{ t_1=-\frac{1}{2},\, t_2=\sqrt{2}-1,\, t_3=-\sqrt{2}-1}\)

\(\displaystyle{ t_1\: i\: t_3}\) odrzucamy, ponieważ t musi być dodatnie.

\(\displaystyle{ t=(\sqrt{2}-1)^x=\sqrt{2}-1}\)

Czyli jest jedno rozwiązanie x=1.

Pozdrawiam