Wyciąganie kwantyfikatorów na początek formuły

[TuTu321]

Mam taką formułę i muszę ją przedstawić w postaci równoważnej ze wszystkimi kwantyfikatorami na początku bez ograniczonego zasięgu
\(\displaystyle{ \forall x \left( P(x)\right) \rightarrow \forall x \left( Q(x) \vee \forall x \left( R(x) \right) \right)}\)
Najgorzej mnie martwia te 2 zagniezdzone kwantyfikatory, nie wiem za bardzo jak to interpretować. Z góry dziękuje za pomoc

[Jan Kraszewski]

Zapisz tę formułę równoważnie:

\(\displaystyle{ \forall x \left( P(x)\right) \rightarrow \forall y \left( Q(y) \vee \forall z \left( R(z) \right) \right).}\)

JK

[TuTu321]

Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \exists x \forall y \forall z \left( P(x) \rightarrow \left( Q(y) \vee (R(z)\right) \right)}\)
Jeszcze miałbym pytanie do jednego:
\(\displaystyle{ \forall _{P(x)} \left( \exists _{Q(y)} \left( R(y)\right) \rightarrow \forall _{S(y)} \left( P(x,y) \right) \right)}\)
W tym wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \forall _{P(x)} \forall _{Q(y)} \forall _{S(Z)} \left( R(y) \rightarrow P(x,z)\right)}\)

[Jan Kraszewski]

Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \exists x \forall y \forall z \left( P(x) \rightarrow \left( Q(y) \vee (R(z)\right) \right)}\)

Dobrze.

Jeszcze miałbym pytanie do jednego:
\(\displaystyle{ \forall _{P(x)} \left( \exists _{Q(y)} \left( R(y)\right) \rightarrow \forall _{S(y)} \left( P( x,y) \right) \right)}\)
W tym wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \forall _{P(x)} \forall _{Q(y)} \forall _{S(Z)} \left( R(y) \rightarrow P(x,z)\right)}\)

Dobrze.

JK

[TuTu321]

Miałbym jeszcze jedno pytanko: Czy to jest tautologią?
\(\displaystyle{ \left( \forall x \forall y \left( P(x,y) \rightarrow P(y,x) \right) \right) \rightarrow \forall x P(x,x)}\)
Moim zdaniem nie jest, i jako kontrprzykład bym podał np. \(\displaystyle{ P(x,y) = x > y \wedge y > x}\)

[Jan Kraszewski]

To jest dobry kontrprzykład.

JK