Punkt kwadratu leży na zewnątrz okręgu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
norbi1952
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 5 lis 2013, o 16:35
Płeć: Mężczyzna

Punkt kwadratu leży na zewnątrz okręgu

Post autor: norbi1952 » 4 maja 2019, o 21:14

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu |x| < 4, |y| < 4 jest punktem leżącym na zewnątrz okręgu (x − 4)^2 + y^2 = 32.

Jeśli dobrze rozumiem to wierzchołki kwadratu będą następujące: \(\left\{\left[ -4, 4\right]; \left[ 4, 4\right]; \left[ 4, -4\right]; \left[ -4, -4\right]\right\}\), lecz nie mam pomysłu, w jaki sposób obliczyć pole kwadratu, które leży na zewnątrz okręgu ze względu na promień tego okręgu. Proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Punkt kwadratu leży na zewnątrz okręgu

Post autor: Janusz Tracz » 4 maja 2019, o 21:57

rysunek\(\leftarrow\) widać, że część wspólna wnętrza koła i \(\Omega\) to \(\frac{1}{4} \text{pola koła}\) oraz dwa trójkąty prostokątne równoramienne (czyli kwadrat razem) o boku \(4\). Zatem prawdopodobieństwo tego, że wylosujesz punkt z poza okręgu wynosi:

\(\mathbb{P}\left( \text{punkt poza}\right)=1- \frac{\frac{ \text{pole koła}}{4}+16}{\left| \Omega\right| }\)

jako, że \(\Omega=\left[ -4,4\right]^2\) to \(\left| \Omega\right| =64\) zostało Ci już tylko podstawianie.

EDIT: pogrubione poprawione.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2019, o 14:47 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 2 razy.

norbi1952
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 5 lis 2013, o 16:35
Płeć: Mężczyzna

Re: Punkt kwadratu leży na zewnątrz okręgu

Post autor: norbi1952 » 5 maja 2019, o 14:40

Janusz Tracz pisze:dwa trójkąty prostokątne równoramienne (czyli kwadrat razem) o polu \(4\)
Bok tego trójkąta wynosi \(4\), czyli pole jednego powinno być równe \(P = \frac{ah}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = \frac{16}{2} = 8\), a ich łączne pole \(16\), prawda?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Punkt kwadratu leży na zewnątrz okręgu

Post autor: Janusz Tracz » 5 maja 2019, o 14:43

Zgadza się, masz racje.-- 5 maja 2019, o 14:44 --Miało być o "boku \(4\)" a nie o "polu \(4\)"

ODPOWIEDZ