Prawo rachunku zbiorów

[Tristan]

Z diagramów Vienna wychodzi, ale jednak przy zapisie się zacinam. Należy wykazać, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cap C=[ A \cap (B \cup C)] \setminus B}\). Wydaje mi się, że coś za mocno kombinują z koniukcją ( przekształcam oczywiście z prawej na lewą) i nie chce wyjść.

[liu]

Niech \(\displaystyle{ x\in (A-B)\cap C}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in C}\), \(\displaystyle{ x\in A}\), \(\displaystyle{ x\notin B}\). Zatem \(\displaystyle{ x\in A\cap C A \cap (B\cup C)}\) oraz \(\displaystyle{ x\notin B}\), czyli x nalezy do prawej strony.

Niech teraz x bedzie z prawej. Wtedy \(\displaystyle{ x\notin B}\), \(\displaystyle{ x\in A}\) oraz \(\displaystyle{ x\in B \cup C}\). Poniewaz \(\displaystyle{ x\notin B}\), to \(\displaystyle{ x\in C}\). Zatem \(\displaystyle{ x\in (A-B) \cap C}\).

[Tristan]

W drugiej linijce powinno być \(\displaystyle{ x B}\). Rozumiem to wszystko, tylko nie wiem jak formalnie zapisać, że skoro \(\displaystyle{ x B \cup C}\) i \(\displaystyle{ x B}\), to \(\displaystyle{ x C}\). Bo przecież powinno być \(\displaystyle{ x C \setminus B}\). Oczywiście z faktu, że \(\displaystyle{ x (A \setminus B) \cap (C \setminus B)}\) wynika, że \(\displaystyle{ x (A \setminus B) \cap C}\), ale mam tutaj właśnie problem z formalnym zapisem.

[liu]

No skoro \(\displaystyle{ x\in B\cup C}\), \(\displaystyle{ x\notin B}\), to gdyby \(\displaystyle{ x\notin C}\), to by było \(\displaystyle{ x\notin B \cup C}\).