Matematyka.pl

Mam rozwiązać równanie w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\). Na początku myślałem, że muszę wyznaczyć pierwiastki i potem przyrównać do modulo \(\displaystyle{ 11}\) ale pierwiastki wyszły mi niewymierne i raczej moje myślenie jest błędne, podpowie ktoś jak to zrobić?
\(\displaystyle{ 5x^{2} +5x+1=0}\)

Masz obliczyć/sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) zachodzi równość/przystawanie :
\(\displaystyle{ (5x^{2} +5x+1) \mod 11=0}\)

Dalej nie wiem jak to ugryźć, mógłbyś jeszcze jakoś podpwiedzieć?

Można po prostu podstawić na pałę elementy \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) i sprawdzić, które pasują.
Jak nie chcesz tak robić, to pozostają jakieś sztuczki, na przykład można zauważyć, że w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5x^2+5x+1=(8x+3)(2x+4)}\) i ponieważ \(\displaystyle{ 11}\) jest liczbą pierwszą, zatem by ten iloczyn się zerował, któryś z czynników musi być zerem modulo \(\displaystyle{ 11}\), tj.
\(\displaystyle{ 8x+3\equiv 0\pmod{11}}\) (co daje \(\displaystyle{ 1}\)) lub \(\displaystyle{ 2x+4\equiv 0\pmod{11}}\) (co daje \(\displaystyle{ 9}\)). Te dwa ostatnie równania można znaleźć, znajdując odwrotność odpowiednio liczby \(\displaystyle{ 8}\) i liczby \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) i mnożąc przez te odwrotności odpowiednie równania (standardowo te odwrotności znajdujesz rozszerzonym algorytmem Euklidesa, choć tutaj szybciej zgadnąć).

Dla liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p=4k+3}\) (czyli na przykład \(\displaystyle{ 11}\) gdy \(\displaystyle{ k=2}\)) zachodzi ogólnie:

\(\displaystyle{ \left( a^{k+1}\right)^2\equiv a\bmod p}\)

Zauważając, że \(\displaystyle{ 20}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\) można zapisać, że:

\(\displaystyle{ 20(5x^{2} +5x+1)\equiv 0\bmod11}\)

A to pozwala zapisać

\(\displaystyle{ \left( 10x+5\right)^2 \equiv 5 \bmod11}\)

czyli

\(\displaystyle{ 10x+5=5^3}\)

lub

\(\displaystyle{ 10x+5=-5^3}\)

stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ x=12}\) czyli w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) po prostu \(\displaystyle{ 1}\) a z drugiego mamy \(\displaystyle{ x=-13}\) czyli w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) jest to \(\displaystyle{ 9}\)

a możesz też po prostu liczyć nieśmiertelną deltą tylko działania w \(\displaystyle{ \ZZ _{11}}\) czyli

\(\displaystyle{ \Delta=5^2-4 \cdot 5 \cdot 1=3-9=-6=5, \sqrt{\Delta}=7}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-5-7}{10}= \frac{6+4}{10}=1}\)

\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{-5+7}{10}= \frac{2}{10}=2 \cdot 10=9}\) bo \(\displaystyle{ 10^{-1}=10}\)

Psiaczek pisze:a możesz też po prostu liczyć nieśmiertelną deltą tylko działania w \(\displaystyle{ \ZZ _{11}}\) czyli

\(\displaystyle{ \Delta=5^2-4 \cdot 5 \cdot 1=3-9=-6=5, \sqrt{\Delta}=7}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-5-7}{10}= \frac{6+4}{10}=1}\)

\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{-5+7}{10}= \frac{2}{10}=2 \cdot 10=9}\) bo \(\displaystyle{ 10^{-1}=10}\)

Super sposób, nie rozumiem tylko dlaczego pierwiastek z delty jest równy \(\displaystyle{ 7}\)?

-- 29 kwi 2019, o 12:11 --

Już chyba wiem, chodzi o poniższy zapis?
\(\displaystyle{ (5+4 \cdot 11) \pmod{11}}\)

tak , w tym ciele \(\displaystyle{ 7 \cdot 7=5}\)