Krzywa całkowa i potok fazowy

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Pakpakpak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 kwie 2019, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Krzywa całkowa i potok fazowy

Post autor: Pakpakpak » 29 kwie 2019, o 00:16

Witam.
Potrzebuje pomocy z takim oto zadaniem:

Rozważmy \(\displaystyle{ R^{2}}\) i pole wektorowe (zadane względem standardowego układu współrzędnych \(\displaystyle{ x^{ \alpha }}\)
\(\displaystyle{ X= \frac{ \partial}{ \partial x^{1} }+3 x^{2} \frac{ \partial }{ \partial x^{2} }}\)
Wyznacz krzywe całkowe i potok fazowy podanego pola.

Szczerze mówiąc, nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Polski internet nie znalazł dla mnie za dużo pomocy, szczególnie jeżeli chodzi o potok fazowy (nawet nie wiem jak jest potok fazowy po angielsku) więc w reszcie internetu też nie za wiele znalazłem. Nawet wyszukiwarka matematyka.pl pokazuje mi brak wyników po wpisaniu "potok fazowy")

Potrzebuje pomocy, a także jeżeli jest taka możliwość jakiś odnośnik do podobnych przykładów.

Z góry dziękuję.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Krzywa całkowa i potok fazowy

Post autor: bartek118 » 30 kwie 2019, o 16:03

To pole, pisząc je "normalniej" jest takie:
\(\displaystyle{ X(x,y) = (1,3y)}\)

Portret fazowy to po prostu rysunek "strzałek". W "każdym" punkcie płaszczyzny rysujesz wektor.

Aby znaleźć krzywe całkowe trzeba rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ x' = 1 \\ y' = 3y}\)
czyli \(\displaystyle{ x(t) = t + C_1}\) i \(\displaystyle{ y(t) = C_2 e^{3t}}\).

Zatem każda krzywa całkowa to krzywa zadana parametrycznie
\(\displaystyle{ (x(t), y(t)) = (t + C_1, C_2 e^{3t})}\)
gdzie \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) to dowolne stałe.

Pakpakpak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 kwie 2019, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Krzywa całkowa i potok fazowy

Post autor: Pakpakpak » 30 kwie 2019, o 16:15

Przede wszystkim dziękuję za pomoc, to odpowiada na pierwszą część mojego problemu. Ale dalej moim zadaniem jest wyznaczyć potok a nie portret. Wydaje mi się że to dwie osobne rzeczy, chyba że czegoś naprawdę nie rozumiem.

ODPOWIEDZ