Matematyka.pl

Podaj przykład grup \(\displaystyle{ H_i, K_i}\) takich, że \(\displaystyle{ H_1 \times H_2 \cong K_1 \times K_2}\) i żadna \(\displaystyle{ H_i}\) nie jest izomorficzna do jakiejkolwiek \(\displaystyle{ K_i.}\)
Dajcie jakieś wskazówki lub informacje gdzie można coś o tym poczytać.

Bardzo prosto. Popatrz na pewien rodzaj symetrii. \(\displaystyle{ \ZZ_2\times\ZZ_3}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_3\times\ZZ_2}\). Nieprawdaż?

A czy zdanie: "żadna \(\displaystyle{ H_i}\) nie jest izomorficzna do jakiejkolwiek \(\displaystyle{ K_i}\)" nie powinno być interpretowane w sposób ścisły następująco: \(\displaystyle{ H_i}\) nie jest izomorficzna z żadną z grup \(\displaystyle{ K_1}\), \(\displaystyle{ K_2}\)?? Choć nie ukrywam, że indeksowanie wpływa niekorzystnie na odczyt.. Ale epitet "jakiejkolwiek" podkreśla jednak co innego (do autora należy uściślenie tego i doprecyzowanie)

Pokażmy coś bardziej interesującego. Zachodzi \(\displaystyle{ \ZZ_3 \times \ZZ_{10} \cong \ZZ_5 \times \ZZ_6}\); ponadto żadna z grup występujących w produkcie po lewej stronie nie jest izomorficzna z żadną po prawej stronie. Szczegóły pozostawiam autorowi

A czy zdanie: "żadna H_i nie jest izomorficzna do jakiejkolwiek K_i" nie powinno być interpretowane w sposób ścisły następująco: H_i nie jest izomorficzna z żadną z grup K_1, K_2?? Choć nie ukrywam, że indeksowanie wpływa niekorzystnie na odczyt.. Ale epitet "jakiejkolwiek" podkreśla jednak co innego (do autora należy uściślenie tego i doprecyzowanie)

Też zastanawiałem się (już po napisaniu posta) nad tą interpretacją, ale postanowiłem pozostawić to co napisałem choćby dlatego, że pytanie było sformułowane właśnie ,,po współrzędnych'.