Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sin3x - \sin x= \sin2x}\)

Doszedłem do momentu

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} =\sin3x}\)
Lecz nie wiem co dalej.
Mam jeszcze jedno pytanie, natknąłem się na zapis

\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+2k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+2k\pi, \ k\in \ZZ}\)

Czy z tangensem sytuacja wygląda tak samo?

Narysuj sobie wykres tangensa, to zobaczysz

\(\displaystyle{ \sin(3x) - \sin(x) = \sin(2x)}\)

Jeśli zastosujemy do lewej strony równania wzór na różnicę funkcji sinus, a do prawej na sinus podwojonego argumentu, to otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2\sin(x)\cos(2x) = 2\sin(x)\cos(x)}\)

stąd

\(\displaystyle{ 2\sin(x)[ \cos(2x) -\cos(x) ] = 0}\)

Dalej już sobie poradzisz.

a4karo, rozumiem że w \(\displaystyle{ \tg \ctg}\) występuje tylko zapis \(\displaystyle{ \alpha=\beta+2k\pi}\) ?

Super, dziękuje Janusz.
Mam jeszcze pytanie, natknąłem się na zapis
\(\displaystyle{ \sin 3x=2\sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2}}\)
Lecz nie wiem z czego to wynika.

Wynika on ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

\(\displaystyle{ \sin(3x) = \sin\left(2\cdot \frac{3}{2}x\right) = 2\sin\left(\frac{3}{2}x\right)\cdot \cos\left(\frac{3}{2}x\right) .}\)

wow, faktycznie, dziękuje!

Michal2115 pisze:a4karo, rozumiem że w \(\displaystyle{ \tg \ctg}\) występuje tylko zapis \(\displaystyle{ \alpha=\beta+2k\pi}\) ?

Nie. Funkcje tangens i cotangens mają inny okres.

JK

\(\displaystyle{ \sin3x - \sin x= \sin2x}\)

Michal2115, skorzystaj z takiej tożsamości trygonometrycznej (lewa strona równania):

\(\displaystyle{ \sin \alpha \pm \sin \beta=2\sin \frac{\alpha \pm \beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}}\)

Tak, już wiem, mimo to dziękuje i tak!

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Czy to jest poprawny zapis?

Michal2115 pisze:\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Czy to jest poprawny zapis?

No skąd! Naprawdę myślisz, że takie wzory tworzy się zamieniając jedne znaczki na drugie? Zrobiłeś to, co zalecił a4karo?

a4karo pisze:Narysuj sobie wykres tangensa, to zobaczysz

JK

Mam przed nosem wykres, z karty wzorów i wiem, tyle że w tangensie okres wynosi \(\displaystyle{ \pi}\).

Masz przed nosem wykres i twierdzisz, że

Michal2115 pisze:\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi \red\vee \alpha=\pi-\beta+k\pi\black, \ k\in \ZZ}\)

? Naprawdę?

JK

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Czy to jest poprawny zapis?

To jest przede wszystkim wreszcie prawdziwa własność.

JK

Mam wrażenie, że nie za bardzo rozumiesz te zapisy, na które (jak piszesz) się natknąłeś:
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+2k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+2k\pi, \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)

Popatrz na wykresy sinusa i tangensa i myśl tak długo, aż zrozumiesz dlaczego w przypadku sinusa są dwa warunki a w przypadku tangensa tylko jeden.
Uczenie matematyki nie polega na uczeniu się wzorów, lecz na rozumieniu co one oznaczają i dlaczego takie są. A to zupełnie inny rodzaj aktywności umysłowej.