Paraboloida w kuli

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Paraboloida w kuli

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 kwie 2019, o 11:13

Obliczyć pole części paraboloidy \(x^2+y^2=2z,\) która jest w kuli \(x^2+y^2+z^2 \leq 3.\)
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2019, o 17:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4966
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Paraboloida w kuli

Post autor: janusz47 » 26 kwie 2019, o 23:32

\(x^2 + y^2 +z^2 \leq 3\)

\(x^2 +y^2 = 2z\)

Przecięcie się powierzchni

\(z^2 +2z -3 = (z+3)(z - 2)= 0,\)

\(z_{1}= -3\) - odrzucamy.

\(z_{2} = 2.\)

\(x^2 +y^2 = 2\cdot 2=4.\)

Współrzędne walcowe:

\(( r, \theta, z) \rightarrow (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z),\)

\(Jac(r, \theta) = r.\)

Element płata powierzchni paraboloidy

\(ds = \sqrt{1 + z'^2_{x} + z'^2_{y}}dx dy\)

\(ds = \sqrt{1 +x^2 +y^2}dxdy = \sqrt{1 +r^2}dr\)

\(|S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \sqrt{1+r^2}r dr d\theta =...= \frac{2}{3}\pi (5\sqrt{5}-1).\)

ODPOWIEDZ