Równanie trygonometryczne z pierwiastkiem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Koojon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sty 2007, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Orzesze
Podziękował: 13 razy

Równanie trygonometryczne z pierwiastkiem

Post autor: Koojon » 9 paź 2007, o 18:17

Mam problem z takim zadaniem :

\(\displaystyle{ sinx + cosx = \sqrt{ tgx + ctgx}}\)

i drugie:

\(\displaystyle{ cos(2x)cosx=cos(5x)cos(4x)}\)

W ogóle nie wiem jak się za to zabrać. Pozdrawiam!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wojciszek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 paź 2007, o 09:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Równanie trygonometryczne z pierwiastkiem

Post autor: wojciszek » 9 paź 2007, o 21:28

drugie równanie:


\(\displaystyle{ cos(2x)cosx=cos(5x)cos(4x)}\) obustronnie mnozymy razy 2 i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ {2}cos(2x)cosx={2}cos(5x)cos(4x)}\) co jest wzorem na sume cosinusów:
\(\displaystyle{ cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}}\)

w efekcie otrzymamy:\(\displaystyle{ cos(3x) + cosx=cos(9x) + cosx}\)
wyrażenia cosx sie redukują i pozostaje nam \(\displaystyle{ cos(9x)-cos(3x)=0}\) czego efektem jest równanie:
\(\displaystyle{ {-2}sin(\frac{9+3}{2}x)*sin(\frac{9-3}{2}x)=0}\) dzielimy przez -2 i mamy:
\(\displaystyle{ sin(6x)*sin(3x)=0}\) z czego już mamy prawie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ sin(6x)=0}\) lub \(\displaystyle{ sin(3x)=0}\) i będziemy mieli wówczas 4 rozwiązania równania.

ODPOWIEDZ