Strona 1 z 1
Logarytmiczny dekrement tłumienia
: 23 kwie 2019, o 14:59
autor: wojtek1205
Wycięto z kwarcu płytkę, której okres drgań własnych wynosi \(\displaystyle{ T_{0}=50ns}\), a następnie wzbudzono ją do drgań swobodnych tłumionych. Znając logarytmiczny dekrement tłumienia o wartości \(\displaystyle{ 0,002}\) proszę policzyć po jakim czasie energia zgromadzona w płytce zmaleje do \(\displaystyle{ 90\%}\).
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam.
Logarytmiczny dekrement tłumienia
: 23 kwie 2019, o 21:08
autor: janusz47
Dane
\(\displaystyle{ T_{0}= 50ns = 50\cdot 10^{-9}s.}\)
\(\displaystyle{ \Lambda = 0,002 = 2\cdot 10^{-3}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ t_{x}}\) - czas, po którym energia zgromadzona w płytce zmaleje do \(\displaystyle{ 90\%.}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Lambda = \beta \cdot T = \beta \cdot T_{0}.}\)
\(\displaystyle{ E \propto A^2}\)
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0}\cdot e^{-\beta\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ E(t) = E_{0}\cdot e^{-2\beta\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ E(t) = 0,9\cdot E_{0}= E_{0}\cdot e^{-2\beta \cdot t_{x}}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{9}{10}\right) = -2\beta \cdot t_{x}}.}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{\ln\left(\frac{9}{10}\right)}{-2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} =\frac{-\ln \left(\frac{9}{10}\right)}{2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{\ln\left(\frac{10}{9}\right)}{2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{T_{0}\cdot\ln \left( \frac{10}{9}\right)}{2\Lambda}.}\)
Podstawiając dane liczbowe
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{50\cdot 10^{-9}\cdot \ln\left(\frac{10}{9}\right)}{2\cdot 10^{-3}}s \approx 2,63 \cdot 10^{-6} s.}\)